Решение дифференциальных уравнений в частных производных




НазваниеРешение дифференциальных уравнений в частных производных
страница1/7
Дата публикации11.04.2013
Размер0.69 Mb.
ТипРешение
skachate.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4   5   6   7





Утверждаю

Ректор университета

_______________А.В. Лагерев

«______»_____________2009г.

Модели и методы анализа проектных решений




решение дифференциальных уравнений в частных производных




Методические указания

к выполнению лабораторной работы

для студентов очной формы обучения

специальности 230104 – "Системы автоматизированного

проектирования"

Брянск 2009

УДК 681.3
Модели и методы анализа проектных решений. Решение дифференциальных уравнений в частных производных: методические указания к выполнению лабораторной работы для студентов очной формы обучения специальности 230104 – "Системы автоматизированного проектирования". – Брянск: БГТУ, 2009. – 39с.


Разработали: Ю.А. Леонов, ст.препод.

Ю.М. Казаков, к.т.н.

Научный редактор М.Ю. Рытов

Редактор издательства Л.И. Афонина

Компьютерный набор Ю.А. Леонов


Рекомендовано кафедрой «Компьютерные технологии и системы» БГТУ (протокол № от )

Темплан 2009г., п.


Подписано в печать Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.

Офсетная печать.

Усл. печ. л. 2,26 Уч. – изд. л. 2,26 Тираж 50 экз. Заказ Бесплатно


Издательство брянского государственного технического университета, 241035, Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, БГТУ. 58-82-49

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Харьковская, 9

  1. ^ ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических задач с использованием программного средства MathCAD.

Продолжительность работы – 6ч.

  1. ^ Теоретическая часть

Большое число задач, связанных с анализом физических (и не только физических) полей описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. К сожалению, во многих случаях, представляющих практический интерес, найти аналитическое решение таких задач трудно или практически невозможно. Это обычно обусловлено сложной формой или неоднородностью свойств области, в которой отыскивается решение.

Однако результат можно получить численно с помощью компьютера. Подходы к решению дифференциальных уравнений с частными производными определяются их математической формой. Поэтому рассмотрим классификацию уравнений с этой точки зрения.

^ 2.1. Классификация уравнений по математической форме

Во многих случаях для описания физических процессов используют уравнений с частными производными до второго порядка включительно.

Так, например, изучение свободных колебаний различной природы приводит к волновым уравнениям вида

 (1)

где u(x, y, z, t) – функция, описывающая волновой процесс;

x, y, z – координаты; с – скорость распространения волны в данной среде; t – время. Оператор принято обозначать значком Δ, который в этом случае носит название оператора Лапласа.

Процессы распространения тепловой энергии описываются уравнением теплопроводности

(2)

где ρ и C – плотность и теплоемкость вещества, T – температура, k – коэффициент теплопроводности, Q – плотность источников тепла.

Анализ стационарных состояний, например, статических тепловых, электрических, магнитных полей или деформаций при статических нагрузках проводят, используя уравнение Пуассона

 (3)

где u(x,y,z) – функция, описывающая статическое поле, f(x,y,z) – распределенные источники. Если f(x,y,z) = 0, то (3) обращается в уравнение Лапласа:

 (4)

Известны и другие виды задач и соответствующие им дифференциальные уравнения в частных производных, например, уравнение диффузии или уравнение Гельмгольца.

Несмотря на различие процессов, описываемых рассмотренными уравнениями, и форм их записи, все они с математической точки зрения могут быть представлены как частные случаи обобщенной формы дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными x и y:

 (5)

где A, B, С и D – некоторые функции, зависящие в общем случае от x, y, u, ∂u/x и ∂u/y, причем A, B и С одновременно не обращаются в ноль. Дифференциальные уравнения, описывающие физические поля, могут быть нелинейными. Однако на практике многие задачи рассматриваются в линейном приближении, когда уравнение с частными производными линейно относительно неизвестной функции u и ее частных производных.

На основании того, что уравнению (5) можно поставить в соответствие квадратичную форму Aζ12+Bζ1ζ2+Cζ22=0, по математической природе различают следующие типы квазилинейных уравнений:

1) гиперболический, если B2 − 4AC > 0 – его аналогом является волновое уравнение (1);

2) параболический, если B2 − 4AC = 0 – его аналог уравнение теплопроводности (2);

3) эллиптический, если B2 − 4AC < 0 – аналог уравнение Пуассона (3) или Лапласа (4).

В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, другой важной составляющей помимо самого уравнения является формулировка дополнительных условий.

Для задач с уравнениями гиперболического или параболического типа, содержащих в качестве независимой переменной время t, условия по t обычно формулируются как начальные, описывающие исходное состояние системы. По координатам x, y и z задают граничные условия. В тепловых задачах они, например, описывают распределение температуры на границе расчетной области. В задачах с уравнениями эллиптического типа, не содержащими переменную t, используют только граничные условия по координатам x, y и z, а саму задачу называют краевой.

Если краевое условие задает распределение функции u на границе, то его принято называть условием Дирихле. Условие, определяющее производную  на границе расчетной области, называют условием Неймана. Здесь  - единичная нормаль к границе. Условия, представляющие собой комбинацию двух вышеназванных, называют смешанными.

С помощью дифференциальных уравнений формулируют и другой вид задач – задачи на собственные значения, связанные, например, с определением собственных волн (частот) колебательных систем или волноведущих структур. Однако здесь они не рассматривается.

Приведенная классификация позволяет определить общие подходы к решению дифференциальных уравнений в задачах различных по физической сути, но сходных с математической точки зрения. В настоящее время широкое распространение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов, основы которых и будут рассмотрены ниже.

Метод конечных разностей заключается в том, что дифференциальное уравнение в частных производных заменяется соответствующей ему системой алгебраических уравнений. Решение этой системы дает приближенное решение для искомой функции u(x,y,z,t).

Метод включает следующие основные этапы:

1) построение сетки, охватывающей рассматриваемую область, например, элемент конструкции какого-нибудь устройства;

2) построение на полученной сетке конечно-разностной аппроксимации, эквивалентной исходному дифференциальному уравнению и дополнительным условиям;

3) формирование на основе конечно-разностной аппроксимации системы алгебраических уравнений и ее решение.

Рассмотрим перечисленные этапы на примере двухмерных задач.

^ 2.2.1. Построение сетки

Формирование сетки производится с учетом геометрии задачи, например, формы детали, для которой выполняется расчет. Обычно для деталей, имеющих прямоугольную форму, используют декартову систему координат и соответственно прямоугольную сетку. На рис. 1 приведен пример такой двухмерной сетки, нанесенной на прямоугольную пластину.

В методе конечных разностей применяют и другие виды сеток. Например, если исследуемая конструкция содержит элементы с осевой симметрией, используют полярную сетку.

В дальнейшем решение задачи строят, опираясь на узлы сетки, то есть на точки пересечения ее линий.



Рис. 1. Прямоугольная сетка
Конечно-разностная аппроксимация производных в дифференциальном уравнении строится путем замены этих производных на их приближенные аналоги с помощью сетки. Так, например, частную производную


в точке (xi, yi) можно заменить приближенным значением так называемой "правой производной"

 (6)

или "левой производной"

, (7)

где Δu и Δx – приращения функции и аргумента, ui, xi и ui+1, xi+1 – значения функции и аргумента в узлах i и i+1, причем Δx – шаг сетки по координате x.

Аналогично получается формула для второй производной ∂2u/x2: . (8)

В полученных выражениях в отличие от точных производных используются малые, но не бесконечно малые разности Δu и Δx. Поэтому сам метод и получил название метода конечных разностей. Формулы для производных по независимым переменным y, z, t получают аналогично.

^ 2.2.2. Аппроксимация уравнения эллиптического типа

Преобразование уравнения эллиптического типа (3) для двухмерной задачи (когда ∂2u/∂z2 ≡ 0) производится путем замены в нем производных ∂2u/∂x2 и ∂2u/∂y2 конечно-разностными формулами. Заменив в (3) ∂2u/∂x2 с помощью (8) и используя аналогичное выражение для ∂2u/∂y2, получим

 (9)

где индексы i и j отсчитываются соответственно по осям X и Y.

Для упрощения анализа предположим, что в сетке используются квадратные ячейки, то есть Δx = Δy = h 0, тогда

 (10)

Уравнение (10) связывает между собой неизвестное значение функции ui,j с ее значениями в четырех соседних узлах. На сетке эти узлы образуют пятиточечный шаблон (рис. 2, а), позволяющий легко определить индексы в (10) для любого произвольно выбранного на сетке узла i, j.



Рис. 2. Шаблон "крест" для уравнения эллиптического типа
Записывая (10) для каждого узла 2 < i < n–1, 2 < j < m–1 и подставляя вместо i и j соответствующие номера, получим систему связанных уравнений. Количество уравнений будет равно количеству узлов, в которых необходимо найти неизвестные ui,i. Иначе говоря, число неизвестных равно числу уравнений и система будет замкнутой.

Значения функции u в узлах сетки, лежащих на границе рассматриваемой области, определяются заданными граничными условиями. Например, если в задаче об изгибе пластины ее края считаются жестко закрепленными, то смещение в граничных узлах полагается нулевым: u1,j = un,j = ui,1 = ui,m = 0.

Решение системы алгебраических уравнений, получаемой в результате конечно-разностной аппроксимации уравнения эллиптического типа, является одним из наиболее тяжелых по вычислительным затратам этапов расчета. Для повышения точности решения приходится использовать сетки с большим числом узлов, на которых формируются и довольно большие системы − нередко до нескольких тысяч алгебраических уравнений. Одним из способов уменьшения числа узлов и является использование сеток с неравномерным шагом. При этом сетку сгущают в наиболее важных с точки зрения точности участках, например, вблизи углов или отверстий.

В то же время решение задачи облегчается тем, что каждое из алгебраических уравнений содержит небольшое количество неизвестных. В качестве примера ниже приведена система с разреженной матрицей ленточного типа, полученной из (10) для прямоугольной области (рис. 1) при n = m = 5. В правой части записаны ui,j относящиеся к узлам, лежащим на границах.



Для решения подобных систем используют специальные методы, учитывающие разреженность матрицы коэффициентов. К специальным прямым относятся некоторые матричные методы и метод прогонки (аналог метода Гаусса). Из итерационных применяют метод Якоби (одновременных смещений) и метод Гаусса-Зейделя (последовательных смещений), а также модификации последнего, например, метод верхней релаксации.

^ 2.2.3. Аппроксимация уравнения гиперболического типа

Построение алгебраических уравнений на основе дифференциального уравнения гиперболического типа (1) выполняется, так же как и в предыдущем случае, заменой производных конечно-разностными аналогами.

В качестве примера рассмотрим задачу продольных колебаниях тонкого однородного стержня длиной ^ L (рис. 3), когда его деформация u зависит только от продольной координаты x и времени t.



Рис. 3. Модель стержня

Колебания стержня описываются дифференциальным уравнением:

 (11)

где , E и ρ – модуль упругости и плотность материала стержня.

Аппроксимация уравнения производится на сетке в координатах t и x. Примерный вид сетки показан на рис. 4. Данная задача не имеет верхней границы по координате t. Это объясняется тем, что с формальной точки зрения колебания в стержне могут продолжаться неопределенно долгое время, даже если будут учтены потери, приводящие к их затуханию.



Рис. 4. Сетка в координатах t и x
Используя сетку, запишем в конечных разностях уравнение, эквивалентное (11):

 (12)

или

 (13)

где β = a Δtx. Из (12) и (13) видно, что форма шаблона уравнения гиперболического типа подобна форме шаблона уравнения эллиптического типа.

Аналогично предыдущей задаче запишем уравнение (13) для каждого узла сетки и, подставляя в него вместо i и j соответствующие этим узлам номера, получим систему связанных алгебраических уравнений.

В качестве граничных условий по x в данной задаче могут использоваться любые условия, описывающие способ закрепления стержня. Например, жесткое закрепление предполагает нулевой сдвиг на концах стержня. Это соответствует условию u(x=0,t) = 0 и u(x=L,t) = 0, где x = 0 и x = L – координаты концов стержня.

По времени t в качестве начальных условий зададим при t = 0 исходную деформацию стержня и начальную скорость его колебаний

  (14)

Решение системы уравнений для рассматриваемой задачи можно получить с помощью сравнительно простой процедуры, называемой явной схемой. Эта схема строится на том, что все уравнения системы последовательно связаны между собой.

Расчет будем проводить в следующем порядке. Вначале определим деформацию стержня в моменты t = 0 и t = 0+Δt. Для t = 0 деформация u(x,0) ≡ ui,1 известна из заданных начальных условий (14). Для следующего момента времени t = Δt деформацию u(xt) ≡ ui,2 определим с помощью второго начального условия, задающего скорость ∂u/t при t = 0:



тогда (15)

При известных из (14) и (15) ui,1 и ui,2 начнем решение задачи следующим образом. Полагая, что j = 2, то есть ui,j–1 = ui,1 и ui,j = ui,2, подставим в (13) известную из (14) соответствующую t = 0 начальную деформацию ui,1u(x, t=0) = fд (x), и соответствующую t = Δt деформацию ui,2 = ui,1 + vi,1Δt (см. (14)). Вычисление правой части (13) позволяет определить ui,j+1 = ui,3 в момент времени t = 2Δt.

Далее действуя аналогично и сдвигая шаблон решения на одну лини сетки по координате t, вычисляются последовательно фазы колебаний ui,4 – из ui,2 и ui,3, затем ui,5 – из ui,3 и ui,4 и так далее. То есть очередной временной слой j+1 рассчитывается из предыдущих − с индексами j и j–1.

При решении гиперболического уравнения следует обращать внимание на выбор шага сетки по x и t. Теоретически можно показать, что приближенное решение, получаемое с помощью (13), сходится к точному при Δx→0 и Δt→0 со скоростью Ox2 + Δt2), если β = aΔtx < 1. Иначе говоря, если выбран шаг сетки Δx по координате x, то появляется ограничение на шаг по времени Δt.

При β > 1 метод становится неустойчивым как в абсолютном, так и в относительном смысле. Последнее означает, что по мере продолжения вычислений ошибки катастрофически нарастают. Теоретически показано, что при β = 1 метод устойчив и конечно-разностное решение совпадает с точным. При β < 1 решение хотя и устойчиво, но его точность с уменьшением β убывает.
  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconЛабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных»
Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических...
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconРешение оду в частных производных выполняется сеточными методами,...
Цель работы: освоить принципы построения математических описа­ний свойств, объектов проектирования. Изучить методы и алгоритмы реше­ния...
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconВопросы к курсу «Дополнительные главы уравнений в частных производных»....
Типы уравнений в частных производных. Понятие символа. Эллиптические уравнения и дифференциальные операторы
Решение дифференциальных уравнений в частных производных icon1. Задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения первого...
Основные понятия о дифференциальных уравнениях в частных производных. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения. Решение...
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconРасписание весеннего семестра 2007/2008 уч года
Дополнительные главы уравнений в частных производных Проф. Коровина Мария Викторовна п-8а
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconМетоды решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Целью работы является изучение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и приобретение навыков решения практических...
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconКонтрольная по математике в задачах 301 – 320 исследовать сходимость ряда
В задачах 361 – 380 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconЛабораторная работа № Решение дифференциальных уравнений
Оду имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих...
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconВопросы к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения, теория функций...
Общее решение, общий интеграл. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, их общее решение и общие интегралы
Решение дифференциальных уравнений в частных производных iconДипломный проект тема: «Оценка параметров обыкновенных дифференциальных...
Тема: «Оценка параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами»

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница