Введение Дисциплина «Основы теории цепей»




НазваниеВведение Дисциплина «Основы теории цепей»
страница1/10
Дата публикации03.05.2014
Размер0.56 Mb.
ТипДокументы
skachate.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


Введение
Дисциплина «Основы теории цепей» является одной из обязательных, установленных государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 210406.65 «Сети связи и системы коммутации».

Материал пособия охватывает такие разделы дисциплины, как «Основные законы и общие методы анализа электрических цепей» и «Режим гармонических колебаний, частотные характеристики» и содержит задание к курсовой работе, необходимые теоретические сведения и пример выполнения одного из вариантов заданий.

Материал данного пособия соответствуют программе подготовки специалистов по специальности 210406.65 «Сети связи и системы коммутации» при изучении дисциплины «Основы теории цепей». Пособие может быть также полезно студентам, слушателям и курсантам других специальностей, занимающихся изучением электрических цепей.
1. Задание к курсовой работе и указания по выполнению
1. Составить схему исследуемой цепи

Для этого на вход заданной цепи (вариант схемы цепи определяется преподавателем со­гласно приложению 1, а исходные числовые данные – согласно приложению 2), как показано на рис. 1.1, подключить реальный источник гармонического напряжения с э.д.с. e(t) = Emcost), амплитуда, частота ω и внутреннее сопротивление Re которого также определяются в соответствии с вариантом.


Рис. 1.1. Подключение источника напряжения к исследуемой цепи
Изобразить полученную схему цепи, проставить нумерацию элементов в соответствии с требованиями ГОСТ по оформлению чертежей и обозначить токи и напряжения на всех элементах, задав их положительные направления.
^ 2. Рассчитать токи и напряжения в элементах цепи

Путем проведения аналитических расчетов необходимо определить амплитуды и начальные фазы токов и напряжений на всех элементах цепи при отсутствии нагрузки, в отчете привести описание расчетов, результаты представить в виде таблицы, аналогичной табл. 1.1.
Таблица 1.1 Результаты расчетов

Элемент

Номинал

Um, мВ

Im, мА

ψU, град.

ψI, град.

Re
















R1
















R2
















R3
















С1(L1)
















С2(L2)

















Так как в исследуемой цепи присутствуют реактивные элементы, то протекающие в цепи процессы могут быть описаны в комплексном виде. Поэтому при проведении аналитических расчетов необходимо использовать метод комплексных амплитуд.

В этом и последующих пунктах численные расчеты могут проводиться с применением вычислительной техники. В случае использования специальных программ (кроме «Калькулятора» ОС Windows) в отчете необходимо указать наименование использованной программы и описать подробный порядок действий с ней.
^ 3. Проверить результаты расчетов

По результатам расчетов токов и напряжений провести проверку выполнения первого и второго законов Кирхгофа для уз­лов и контуров цепи.
^ 4. Нарисовать полную векторную диаграмму цепи

Построить полную векторную диаграмму токов, напряжений и цепи источника. Все векторы, изображенные на рисунке должны быть подписаны. Допускается векторы, относящиеся к токам и напряжениям, изображать разными цветами или изобразить на двух разных диаграммах.
^ 5. Рассчитать частотные характеристики цепи

Для выполнения расчета необходимо:

– определить комплексный коэффициент передачи по напряжению исследуемой цепи

, (1.1)

где и - комплексные амплитуды выходного и вход­ного напряжений;

– рассчитать амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики;

– построить графики АЧХ и ФЧХ.

2. Краткие теоретические сведения
^ 2.1. Методы расчета цепей при воздействии постоянных токов и напряжений
Одним из саамы простых методов расчета электрических цепей при воздействии постоянного тока является метод эквивалентных преобразований, применяемый, главным образом, для несложных цепей, состоящих из нескольких элементов.

Сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

– в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

– фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

– эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

При этом при последовательном соединении участков электрической цепи через все участки цепи проходит один и тот же ток, а напряжение на зажимах этого участка цепи равно сумме напряжений на каждом из ее элементов (рис. 2.1):
U = UR1+ UR2+ UR3 = R1I + R2I = R3I = (R1 + R2 + R3)I. (2.1)


Рис. 2.1. Эквивалентное сопротивление при последовательном соединении
Если необходимо заменить участок цепи, состоящий из нескольких последовательно соединенных элементов одним эквивалентным, то напряжение на нем будет равно U=RЭI.

Учитывая условия эквивалентного преобразования, получится:
RЭ=R1 +R2 +R3. (2.2)
Таким образом, при последовательном соединении элементов сопротивление цепи равно сумме сопротивлений составляющих ее элементов.

При параллельном соединении участков все участки цепи присоединены к одной паре узлов (рис. 2.2) и на всех этих участках имеется одно и то же напряжение.



Рис. 2.2. Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении
При этом ток на входе цепи равен сумме токов параллельных ветвей:

. (2.3)
В том случае, если необходимо заменить участок электрической цепи, состоящий из нескольких параллельно соединенных элементов, одним эквивалентным, то ток такого эквивалентного элемента будет определяться по формуле:

. (2.4)

Учитывая условия эквивалентного преобразования, можно записать: GЭ = G1 + G2 + G3 или , то есть при параллельном соединении сопротивлений для получения эквивалентной проводимости складывают проводимости параллельных ветвей.

Отсюда можно получить формулу для определения эквивалентного сопротивления трех параллельно включенных ветвей:
. (2.5)
Для случая параллельного соединения двух ветвей это выражение будет иметь вид:
. (2.6)
Для расчета сложных цепей возможно применение также и других методов расчета, например, составление уравнений по законам Кирхгофа, эквивалентных преобразований и т.д.

^ 2.2. Методы расчета цепей при воздействии источников гармонического сигнала
2.2.1 Комплексный метод расчета

Тригонометрический метод расчета гармонических токов и напряжений в линейной цепи, который базируется на законах Ома и Кирхгофа для мгновенных значений сигналов в тригонометрической форме, требует суммирования гармонических функций с неизвестными параметрами, что приводит к громоздким расчетам, если число слагаемых функций более двух. Этот метод применим для расчета очень простых цепей из двух – трех элементов. Расчет сложных цепей целесообразно производить с помощью метода комплексных амплитуд.

В данном методе для гармонического сигнала (тока или напряжения)
(2.7)
комплексная амплитуда равна



, . (2.8)
Комплексная амплитуда является комплексным числом (– мнимая единица), определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его частоты.

Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху (в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда имеет вид В или В.

Для определения комплексной амплитуды гармонический сигнал должен быть записан в канонической форме (2.7). Если запись сигнала отличается от этой формы, то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования в соответствии с одной из следующих формул:
,

,

.

Пример

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получится мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.
Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

^ Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде

или , (2.9)
где - полное комплексное сопротивление, а - полная комплексная проводимость участка цепи.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,
. (2.10)
^ Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд э.д.с. идеальных источников напряжения, включенных в этот контур:

. (2.11)
Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

Все методы расчета цепей, основанные на применении закона Ома и законов Кирхгофа, могут быть также использованы с учетом комплексного характера сопротивлений элементов.

^ 2.2.2. Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи

Сопротивление R

Если синусоидальную функцию времени заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:
, (2.12)
где , – комплексные амплитуды.

Для действующих значений комплексных величин будем иметь:
. (2.13)
Для индуктивности L в комплексной форме записи:
. (2.14)
Для действующих комплексных значений:
. (2.15)
Здесь - индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи ().

Для емкости С в комплексной форме записи

. (2.16)
Для действующих комплексных значений:
. (2.17)

Здесь – индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи ().

Таким образом, значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 2.1.


Таблица 2.1 – Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи




Активное сопротивление R

Индуктивность L

Емкость C

Комплексное

сопротивление

R

jωL



Комплексная проводимость





jωC


Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления R всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома можно записать
, (2.18)
где – сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для активного сопротивления R напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и величина Z действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 900 (на радиан), следовательно , тогда и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости , и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.
^ 2.2.3. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

– комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

– комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей, т.е. сопротивление параллельного соединения двух элементов с сопротивлениями и определяется выражением

. (2.19)


Рис. 2.3. Параллельное соединение двух комплексных сопротивлений
Пример

Сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 2.4, а при R = 10 кОм и С = 100 пФ на частоте f = 80 кГц равно
кОм,
а проводимость параллельной цепи на рис 2.4, б

См.


Рис. 1.25. Последовательное (а) и параллельное (б) соединения

R и C элементов
Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,
(2.20)
Пример 1

Для последовательной цепи на рис. 2.4, а, ее проводимость равна


См.
Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,
Ом.
Тогда для проводимости получим
См.
Пример 2

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 2.5 при R1 = R2 = 1 кОм, С = 1 нФ, ω = 106 рад/с. Определим ее комплексное сопротивление .



Рис. 2.5. Схема для определения полного комплексного сопротивления
В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов R2C и определяется его сопротивление , равное
.
Тогда параллельный фрагмент R2C заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Схема, эквивалентная представленной на рис. 2.5
Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно
.
Подставляя исходные данные, получим
Ом.
Полное комплексное сопротивление Z в показательной форме можно записать в виде

. (2.21)
Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,
. (2.22)
Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз между напряжением и током:

, (2.23)
Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид
, (2.24)
ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

, (2.25)
а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением:
. (2.26)
Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,
, (2.27)
где Rактивная, Xреактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (2.27) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 2.5:
.
Как видно, активная R составляющая сопротивления равна
,

а реактивная

,

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты активной R и реактивной X составляющих сопротивления для цепи рис. 2.5 показаны на рис. 2.7.

На низких частотах () емкость является разрывом цепи и сопротивление Ом. На высоких частотах () емкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Ом. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю.

При рад/с получается ранее вычисленное значение Ом.



а) б)

Рис. 2.7. Частотная зависимость активного (а) и реактивного

(б) сопротивлений

^ 2.3. Построение векторных диаграмм электрических цепей
Существенно упростить расчеты можно, отказавшись от описания сигналов с помощью тригонометрических функций времени и заменив его числами, на зависящими от времени, в частности, с помощью векторных диаграмм.

Гармонический сигнал можно представить проекцией на горизонтальную ось вектора, вращающегося против часовой стрелки вокруг начала координат с круговой (угловой) частотой ω, как показано на рис. 2.8.


Рис. 2.8. Представление сигнала в виде векторной диаграммы
Длина (модуль) вектора равна амплитуде гармонического сигнала S и в момент начала вращения (при t = 0) угол его наклона к горизонтальной оси равен начальной фазе сигнала (отсчет положительных значений проводится против часовой стрелки).

Все гармонические токи и напряжения в цепи с одинаковой частотой, равной частоте источников сигнала, можно представить совокупностью синхронно вращающихся векторов вида рис. 2.8. Так как все векторы вращаются синхронно и между ними сохраняются амплитудные и угловые соотношения, то вращение можно остановить и рассматривать неподвижную совокупность векторов. Если вращение остановлено в момент времени t = 0, то угол наклона каждого вектора к горизонтальной оси равен начальной фазе соответствующего вектору гармонического сигнала.

Совокупность векторов, соответствующих гармоническим токам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала, а угол наклона вектора к горизонтальной оси – начальной фазе сигнала называется векторной диаграммой электрической цепи.

На рис. 2.9 приведены векторные диаграммы для пассивных элементов электрической цепи.
Пример

Рассмотрим RC-цепь, показанную на рис. 2.10, в которой заданы положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений.



а) б) в)

Рис. 2.9. Векторные диаграммы для пассивных элементов электрической цепи (а) – для сопротивления активного сопротивления, б) - для емкости, в) - для индуктивности)



Рис. 2.10. К анализу цепи с помощью векторных диаграмм
Прежде всего, необходимо проанализировать структуру цепи. ^ В ней присутствует параллельный фрагмент (соединение элементов C и R2), который соединен последовательно с сопротивлением R1 и источником напряжения e(t). Построение необходимо начать с напряжения на параллельном фрагменте, при этом u2 = u3, этот вектор проведем произвольно по модулю и направлению, например, горизонтально, векторная диаграмма показана на рис. 2.11.



Рис. 2.11. Полная векторная диаграмма цепи
Ток i2 совпадает по фазе с напряжениями u2 = u3, а ток i3 опережает их по фазе на 900. Соответствующие векторы изображены на диаграмме рис. 2.11 с произвольной длиной и указанными угловыми соотношениями относительно вектора u2 = u3. Векторная сумма этих токов по первому закону Кирхгофа равна току i1, то есть этот вектор строится исходя из векторов i2 и i3.

Вектор напряжения u1 на сопротивлении R1 совпадает по направлению с вектором тока i1 и имеет произвольную длину, а вектор э.д.с. e(t) по второму закону Кирхгофа равен сумме векторов u1 и u2 = u3. На этом построение «качественной» векторной диаграммы цепи заканчивается.

Если цепь содержит последовательный фрагмент, входящий в смешанное соединение, то построение целесообразно начинать с вектора тока этого фрагмента.

Векторная диаграмма электрической цепи может использоваться для иллюстрации амплитудных и фазовых соотношений между токами и напряжениями, и для формирования аналитических выражений, связывающих их амплитуды (действующие значения) и начальные фазы.

Например, для диаграммы рис. 2.11 амплитуды (действующие значения) токов I1, I2 и I3 по теореме Пифагора связаны выражением . Для других соотношений можно использовать теорему косинусов.

Для сложной цепи построение «качественной» векторной диаграммы требует вдумчивого подхода при выборе начального вектора и способов построения остальных векторов.

^ 2.4. Расчет частотных характеристик четырехполюсника
Четырехполюсником называют электрическую цепь с четырьмя полюсами, разделенными на пару входных и пару выходных полюсов, как показано на рис. 2.12.



Рис. 2.12. Общий вид четырехполюсника
Входные полюсы обычно изображаются слева и имеют индекс 1, а выходные – справа с индексом 2. Входной и выходной токи чаще всего обозначают втекающими в четырехполюсник.

При заданном сопротивлении нагрузки четырехполюсника , подключенной к его выходу, входное сопротивление четырехполюсника
. (2.28)
Комплексный коэффициент передачи по напряжению определяется выражением

, (2.29)
аналогично комплексный коэффициент передачи тока
. (2.30)
Комплексный коэффициент передачи четырехполюсника в общем случае можно представить в показательной форме,
, (2.31)
где – его модуль, а – аргумент.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) K(ω) – это зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты. Она представляет собой отношение амплитуд или действующих значений выходного сигнала к входному.

^ Фазочастотная характеристика (ФЧХ) φ(ω) – это зависимость от частоты аргумента комплексного коэффициента передачи. Она представляет собой сдвиг фаз между выходным и входным сигналами.

Численные значения АЧХ безразмерны, а ФЧХ измеряется в угловых единицах (радианах или градусах).

На практике широко используется измерение АЧХ в децибелах (дБ). Если рассматриваются модули коэффициентов K передачи напряжения или тока, то их значение в децибелах равно
. (2.32)
Если же речь идет о коэффициенте передачи мощности , то
. (2.33)
Логарифмическая мера АЧХ удобна при анализе четырехполюсников. Например, если K = 1, то получим, что КдБ = 0 дБ и амплитуда сигнала не меняется при прохождении через четырехполюсник. Если K > 1, то КдБ > 0 и происходит усиление сигнала, а если наоборот, то КдБ < 0 и наблюдается ослабление (затухание) сигнала. Основным достоинством логарифмической меры является возможность отображать графически широкий диапазон изменения АЧХ от маленьких величин или дБ до больших значений или дБ.
Пример

Рассмотрим пример определения комплексного коэффициента передачи четырехполюсника, схема которого показана на рис. 2.13.


Рис. 2.13. Пример схемы для расчета комплексного

коэффициента передачи
Подключим на вход четырехполюсника идеальный источник напряжения с ЭДС , как показано на рис. 2.14, и воспользуемся методом узловых напряжений.

В цепи имеется два узла и необходимо определить единственное узловое напряжение .



Рис. 2.14. Рассчитываемая схема с подключенным источником э.д.с.
Выражая через токи ветвей и используя первый закон Кирхгофа, получим уравнение метода узловых напряжений:
.
После алгебраических преобразований получим
.
Тогда по Закону Ома можно определить выходное напряжение

.

Подставляя выражение для , с учетом получим
.
Следовательно, комплексный коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению равен



.
Для нахождения АЧХ цепи необходимо найти модуль :
.
Для нахождения ФЧХ цепи необходимо найти аргумент :



.

3. Пример выполнения задания курсовой работы
Рассмотрим пример выполнения задания курсовой работы для схемы, приведенной на рис. 3.1 со следующими исходными данными: Em = 10 В, Re = 104 Ом, R1 = R2 = R3 = R = 2·103 Ом, C1 = C2 =1 нФ, ω = 105 рад/с.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconОсновы теории цепей
Обеспечение студентов базовыми знаниями современной теории электрических цепей и формирование основы для успешного изучения ими последующих...
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» icon1. основные положения теории электромагнитного поля и теории электрических цепей
Развитие современной цивилизации тесно связано с применением различных электротехнических устройств. Для анализа работы и расчета...
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconДисциплина «Экономическая теория»
Введение в экономику (основы экономического анализа, основы обмена, функционирование конкурентного рынка, основы государственного...
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconП 784 министерство образования и науки российской федерации
Программа, методические указания и задания к контрольным работам по курсу «Основы теории цепей». – Таганрог: Изд-во тти юфу, 2010....
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» icon10 Вопросы для самопроверки
Основные положения теории электромагнит­ного поля и теории электрических цепей
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconКонтрольная работа выполняется на тему «Основные законы теории цепей,...
Расчеты линейных электрических цепей в установившемся режиме символическим методом
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconКонтрольная работа выполняется на тему «Основные законы теории цепей,...
Расчеты линейных электрических цепей в установившемся режиме символическим методом
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Анализ и методы расчета электрических цепей постоянного и переменного токов. Электрические машины и устройства. Расчет трехфазных...
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconОсновные положения теории
Цель работы изучение лабораторного комплекса по теории цепей (лктц), принципа действия его отдельных функциональных блоков и выполнение...
Введение Дисциплина «Основы теории цепей» iconОсновные положения теории
Цель работы изучение лабораторного комплекса по теории цепей (лктц), принципа действия его отдельных функциональных блоков и выполнение...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница