Решение логарифмических уравнений и неравенств




Скачать 92.55 Kb.
НазваниеРешение логарифмических уравнений и неравенств
Дата публикации06.02.2014
Размер92.55 Kb.
ТипРешение
skachate.ru > Математика > Решение
Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

    \[ \lg(x^2-6) = \lg(8+5x). \]

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x^2-6>0, \\ 8+5x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end{cases} \Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases} x\in(-\mathcal{1};-\sqrt{6})\cup(\sqrt{6};+\mathcal{1}), \\ x\in (-1,6;+\mathcal{1}). \end{cases} \]

С учетом того, что

    \[ -1,6 = -\sqrt{2,56}> -\sqrt{6}, \]

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

    \[ x\in(\sqrt{6};+\mathcal{1}). \]

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

    \[ x^2-6 = 8 + 5x\leftrightarrow x^2-5x-14=0\leftrightarrow \]

    \[ x_1 = 7,\, x_2 = -2. \]

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

    \[ \log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31). \]

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

    \[ \begin{cases} -x^2+4x+5>0, \\ -x-31>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -1<x<5, \\ x<-31. \end{cases} \]

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

    \[ 3\log_{\frac{1}{2}}^2 x +5\log_{\frac{1}{2}} x - 2=0. \]

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

    \[ t = \log_{\frac{1}{2}} x. \]

Уравнение принимает вид:

    \[ 3t^2 + 5t -2 = 0\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t_1= \frac{1}{3},\\ t_2=-2.\end{array}\right. \]

Обратная подстановка:

    \[ \left[\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3}, \\ \log_{\frac{1}{2}} x = -2\end{array}\right.\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \\ x = 4. \end{array}\right. \]

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

    \[ \log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(1-x). \]

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x+2>0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x>-2, \\ x>-3, \\ x<1\end{cases}\Leftrightarrow x\in(-2; 1). \]

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

    \[ \log_{0,4}(x+2)(x+3)=\log_{0,4}(1-x)\rightarrow \]

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

    \[ (x+2)(x+3) = (1-x)\leftrightarrow x^2+6x+5 = 0\leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}x_1 =-5, \\ x_2 = -1.\end{array} \]

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

    \[ x^{\log_3 x} = 81. \]

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

    \[ x^{\log_3 x} = x^{\log_x 81}\leftrightarrow x^{\log_3 x} = x^{\frac{4}{\log_3 x}}\leftrightarrow \]

    \[ \log_3^2 x = 4\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log_3 x = 2, \\ \log_3 x = -2 \end{array}\right.\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 9,\\ x =\frac{1}{9}. \end{array}\right. \]

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

    \[ \log_4(x+12)\cdot \log_x 2 = 1. \]

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

    \[ \begin{cases} x+12> 0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

    \[ \frac{\log_2(x+12)}{2\log_2 x} = 1. \]

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

    \[ \log_x(x+12) = 2 \rightarrow x^2-x-12 = 0\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1=4, \\ x_2 = -3. \end{array}\right. \]

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

    \[ \log_{0,5}(x^2+x-6)\geqslant \log_{0,5}(x+4). \]

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x^2+x-6>0, \\ x+4>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in(-\mathcal{1};-3)\cup(2;+\mathcal{1}), \\ x>-4 \end{cases} \]

    \[ \leftrightarrow x\in(-4;-3)\cup(2;+\mathcal{1}). \]

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

    \[ x^2+x-6\leqslant x+4\leftrightarrow x^2\leqslant 10\leftrightarrow x\in[-\sqrt{10};\sqrt{10}]. \]

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

    \[ x\in[-\sqrt{10}; -3)\cup(2;\sqrt{10}]. \]

Пример 8. Решите неравенство:

    \[ 11\cdot \log_9(x^2-12x+27)\leqslant 12+\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}. \]

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

    \[ \begin{cases} x^2-12x+27>0, \\ \frac{(x-9)^{11}}{x-3}>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};3)\cup(9;+\mathcal{1}). \]

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

    \[ 11\cdot \log_9(x-9)(x-3)-\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}\leqslant 12 \]

    \[ \log_9\left[(x-9)^{11}(x-3)^{11}\right]-\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}\leqslant 12 \]

    \[ \log_9\frac{(x-3)^{12}(x-9)^{11}}{(x-9)^{11}}\leqslant \log_9 9^{12}. \]

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

    \[ (x-3)^{12}\leqslant 9^{12}\leftrightarrow -9\leqslant x-3 \leqslant 9\leftrightarrow x\in[-6;12]. \]

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

    \[ x \in [-6;3)\cup(9;12]. \]

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

    \[ \log_{x+1}(x^3+3x^2+2x)<2. \]

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

    \[ \begin{cases} x+1>0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal{1}). \]

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

    \[ x^3+3x^2+2x<x^2+2x+1\leftrightarrow x^3+2x^2-1<0\leftrightarrow \]

    \[ (x+1)(x^2+x-1)<0\leftrightarrow \]

    \[ x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right). \]

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

    \[ x\in\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right). \]

Пример 10. Решите неравенство:

    \[ \frac{2\log_3(x^2-4x)}{\log_3 x^2}\leqslant 1. \]

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x^2-4x>0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal{1}). \]

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

    \[ \log_{x^2}(x^2-4x)^2\leqslant 1. \]

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

    \[ \begin{cases} x\in(-1;0), \\ (x^2-4x)^2\geqslant x^2 \end{cases}\leftrightarrow \begin{cases} x\in(-1;0), \\ x^2(x-5)(x-3)\geqslant 0 \end{cases}\leftrightarrow \]

    \[ x\in (-1;0). \]

И второй:

    \[ \begin{cases}x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(4;+\mathcal{1}), \\ x^2(x-5)(x-3)\leqslant 0 \end{cases}\leftrightarrow x\in(4; 5]. \]

Итак, окончательный ответ:

    \[ x\in(-1;0)\cup(4;5]. \]

^ II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

    \[ \frac{2\log_3(x^2-4x)-\log_3 x^2}{\log_3 x^2}\leqslant 0\leftrightarrow \]

Вычтем из знаменателя \log_3 1.Это ничего не изменит, поскольку \log_3 1 = 0.

    \[ \frac{\log_3(x^2-4x)^2-\log_3 x^2}{\log_3 x^2-\log_3 1}\leqslant 0 \]

С учетом того, что выражения \log_3 f - \log_3 gи f-g— одного знака при f,\,g>0,в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

    \[ \frac{(x^2-4x)^2-x^2}{x^2-1}\leqslant 0\leftrightarrow \]

    \[ \frac{(x^2-5x)(x^2-3x)}{x^2-1}\leqslant 0. \]

решение дробно-рационального неравенства

Множество решений данного неравенства

Итак, x\in(-1;1)\cup [3;5],а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: x\in(-1;0)\cup (4;5].

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

  • Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

  • Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.

  • В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

^ Задание С3. Решите систему неравенств

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Решение. Как всегда для начала выписывается область допустимых чисел, где имеют смысл приведенные в предложенной системе выражения. Очевидно, левая часть первого неравенства определена на всем множестве действительных чисел, тогда как для второго неравенства должны быть введены ограничения

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Материал сайта http://mathsege.ru

Первое ограничение определяет пару интервалов

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

второе и третье ограничение выделяют в первом интервале два новых интервала

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Последние ограничения выполняются автоматически. При соблюдении ограничений второе неравенство немного упрощается

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

При потенцировании следует учесть свойство монотонности логарифмической функции, заключающееся в том, что если основание логарифма меньше единицы, то логарифмическая функция оказывается убывающей, тогда как в случае, если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция становится возрастающей. Поэтому приходится рассматривать два случая.

1. Первый случай в нашем задании

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

соответствует первому интервалу области определения, и поэтому рассматриваемое неравенство при потенцировании обеих частей  должно изменить свой знак  на противоположный

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Поскольку на рассматриваемом интервале знаменатель отрицателен, то при умножении обеих частей на знаменатель, знак неравенства снова меняется на противоположный

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

В результате получается  неравенство

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

с корнями

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

и, следовательно, с решениями

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Но полученные решения рассматривается только на первом интервале области определения, и при этом оказывается, что весь рассматриваемый интервал включен в решения. Следовательно, рассматриваемый случай основания логарифма приводит к решению

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

2. Оставшийся случай

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

при потенцировании обеих частей неравенства сохраняет знак

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Приведение неравенства к виду

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

показывает, что на рассматриваемом интервале

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

при  x<0 неравенство выполняется, если

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

в противном случае для   x>0 справедливость неравенства наступает, если

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Анализ полученных решений показывает, что на рассматриваемом интервале допустимы решения

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Сравнивая вычисленные решения с областью определения, устанавливается, что во втором случае второе неравенство выполняется на объединении двух отрезков

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Объединяя решения обоих случаев  основания логарифмической функции, в итоге выводятся все решения второго неравенства

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Решение оставшегося первого неравенства затруднений не вызывает, если в нем выполнить замену

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

в результате чего получается неравенство с квадратным трехчленом

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

с очевидным решением

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Ясно, что вследствие свойств показательной функции левую границу следует сдвинуть к нулю

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

откуда следует решение первого неравенства

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

В результате легко выводится ответ на все задание:

 система логарифмических неравенств из задания с3 егэ по математике 21 июня 2012 года

Похожие:

Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение уравнений и неравенств
...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconКол-во
Кроме того, в данном курсе уделено внимание решению систем уравнений и неравенств с модулем, построению графиков функций с модулем,...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconПрограмма по математике для учащихся 11 классов
Решение систем тригонометрических уравнений и тригонометрических уравнений, приводимых к ним
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение системы алгебраических уравнений на ЭВМ
Одним из эффективных методов решения системы алгебраических уравнений, которые получаются при использовании мкэ, является известный...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение оду в частных производных выполняется сеточными методами,...
Цель работы: освоить принципы построения математических описа­ний свойств, объектов проектирования. Изучить методы и алгоритмы реше­ния...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconПлан-конспект урока алгебры в 8 классе на тему «Применение свойств числовых неравенств»
Образовательная: учащиеся должны знать и уметь применять свойства числовых неравенств
Решение логарифмических уравнений и неравенств icon2 Методы описания математических негеометрических знаний
Математические знания в инженерном деле в большинстве случаев представляются в форме систем алгебраических и (или) дифференциальных...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение Отношение
Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ")
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение дифференциальных уравнений в частных производных
Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconЛабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных»
Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница