Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ




Скачать 72.34 Kb.
НазваниеРешение системы алгебраических уравнений на ЭВМ
Дата публикации17.11.2013
Размер72.34 Kb.
ТипРешение
skachate.ru > Математика > Решение
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ

Одним из эффективных методов решения системы алгебраических уравнений, которые получаются при использовании МКЭ, является известный вариант метода исключения Гаусса. На первом этапе исходная матрица преобразуется к треугольному виду, после чего решение получается обратной прогонкой.

Рассмотрим систему из 4-х линейных алгебраических уравнений вида:

а+111х1 + а+112 х2 + а+113 х3 + а+114 х4 = b+11

а+121 х1 + а+122 х2 + а+123 х3 + а+124 х4 = b+12

а+131 х1 + а+132 х2 + а+133 х3 + а+134 х4 = b+13

а+141 х1 + а+142 х2 + а+143 х3 + а+144 х4 = b+14

^ Выразив из первого уравнения переменную x1, имеем:

x1=

[

b+11




-a+112




-a+113




-a+114

]



[1 x2 x3 x4 ] т

a+111




a+111




a+111




a+111

Подставляя полученное выражение для х1 во 2-е, 3-е и 4-е уравнения и приводя подобные члены, приходим к системе:

а+111х1 + а+112 х2 + а+113 х3 + а+114 х4 = b+11

0 + (а22–а211211])х2+(а23–а211311])х3 +(а24–а211411])х4 = b2–b12111)

0 + (а32–а311211])х2+(а33–а311311])х3 +(а34–а311411])х4 = b3–b13111)

0 + (а42–а411211])х2+(а43–а311411])х3 +(а44–а411411])х4 = b4–b14111)

В трех последних уравнениях все коэффициенты аpq и bp должны иметь верхний индекс (+1), поскольку эти коэффициенты взяты из исходной системы. Далее указанный индекс будет использован для обозначения номера итерации решения исходной системы. Введем следующие обозначения:

apq+(k+1)= apq+k- apk+k( akq+k/ akk+k) ; bp+(k+1)= bp+k- bk+k( apk+k/ akk+k) (14.1)

^ Тогда последнюю систему можно переписать в виде:

а+111х1 + а+112 х2 + а+113 х3 + а+114 х4 = b+11

0 + а+222 х2 + а+223 х3 + а+224 х4 = b+22

0 + а+232 х2 + а+233 х3 + а+234 х4 = b+23

0 + а+242 х2 + а+243 х3 + а+244 х4 = b+24

Выразив из второго уравнения переменную x2, имеем:

X2=

[

b+22




-a+223




-a+224

]



[1 x3 x4 ] т

a+222




a+222




a+222

Подставляя полученное выражение для х2 в 3-е и 4-е уравнения и приводя подобные члены, приходим к системе:

а+111х1 + а+112 х2 + а+113 х3 + а+114 х4 = b+11

а+222 х2 + а+223 х3 + а+224 х4 = b+22

33+2–а32+223+222+2])х3 + (а34+2–а32+224+222+2])х4 = b+23–b2+232+222+2)

43+2–а42+223+222+2])х3 + (а44+2–а42+224+222+2])х4 = b+24–b2+242+222+2)

Коэффициент при неизвестной х3 в третьем уравнении логично было бы обозначить как а33+3. Попробуем получить его формально, используя первую формулу в выражении (14.1). С этой целью обозначим p=3 (№ строки) , q=3 (№ столбца), k=2 (номер текущей итерации) и подставим эти индексы в (14.1):

a33+(2+1)= a33+2- a32+2( a23+2/ a22+2) ;

Получили очевидное совпадение результатов. Вычислим аналогично остальные коэффициенты при неизвестных в третьем и четвертом уравнениях:

a34+(2+1)= a34+2- a32+2( a24+2/ a22+2) =a34+3

a43+(2+1)= a43+2- a42+2( a23+2/ a22+2) =a43+3

a44+(2+1)= a43+2- a42+2( a23+2/ a22+2) =a44+3

Непосредственной проверкой можно показать, что правая итерационная формула, с помощью которой вычисляются свободные члены, так же верна. Проводя необходимые вычисления, получаем выражение для исходной системы уравнений после второй итерации выражения неизвестных:

где: b3+3= b+23–b2+232+222+2) и b4+3= b4+2 –b2+242+222+2).

^ После третьей итерации система примет вид:

а11+1х1+ а12+1х2+ а13+1х3+ а14+1х4 = b1+1

0+ а22+2х2+ а23+2х3+ а24+2х4 = b2+2

0+ 0+ а33+3х3+ а34+3х4 = b3+3

0+ 0+ 0+ а44+4х4 = b4+4

где: a44+4= a44+3–a43+334+333+3) и b4+4= b4+3 –b3+343+333+3).

^ Решение полученной системы выполняем методом обратной прогонки. Из четвертого уравнения вычисляем неизвестную Х4:

х4 = b4+444+4

^ Из третьего уравнения вычисляем неизвестную Х3:

х3 = [b3+3 -(а34+3х4)]/а33+3

Из второго уравнения вычисляем неизвестную Х2:

х2+ = [b2+2 – (а24+2х4 + а23+2х3)]/а22+2

^ Наконец, из первого уравнения вычисляем неизвестную Х1:

х1 = [b1+1 – (а14+1х413+1х312+1х2)]/а11+1

^ Пусть в исходной системе задано фиксированное значение р-й переменной (Хр=Q). Преобразование системы проводим по шагам:

  • коэффициенты р-й строки, кроме диагонального коэффициента, равного аpp+1, приравниваем нулю;

  • свободный член в р-й строке заменяем произведением: (аpp+1Q);

  • уравнения, содержащие переменную Хр, преобразуем, вычитая из обеих частей каждого из них произведение (аqp+1Q), где q – номер строки (qp).

^ Проиллюстрируем это на примере системы уравнений:

46,6T1 – 21,7T2 + 0 + 0 = 1000

- 21,7T1 + 93,2T2 – 21,7T3 + 0 = 2000

0 - 21,7T2 + 93,2T3 – 21,7T4 = 2000

0 + 0 – 21,7T3 + 56,6T4 = 1400


(14.2)

Здесь, согласно условию задачи, фиксирована одна степень свободы узлового параметра {Т1=150}. Преобразование системы проводим по шагам:

  • коэффициенты 1-й строки, кроме диагонального коэффициента, равного К11=46.6, приравниваем нулю:

  • 46,6T1 + 0 + 0 + 0 = 1000

  • свободный член в 1-й строке заменяем произведением: (К11Т1)=6990:

  • 46,6T1 + 0 + 0 + 0 = 6990

  • переменная Т1 входит еще во второе уравнение, поэтому вычитаем из левой и правой части 2-го уравнения произведение К21Т1=(-21,7150):

0 + 93,2T2 – 21,7T3 + 0 = 2000–(-3255)= 5255

Таким образом, искомая система для решения примет вид:

46,6T1 + 0 + 0 + 0 = 6990

0 + 93,2T2 – 21,7T3 + 0 = 5255

0 - 21,7T2 + 93,2T3 – 21,7T4 = 2000

0 + 0 – 21,7T3 + 56,6T4 = 1400

В программе решения системы уравнений, приводимой ниже, преобразование выполняется оператором:

For i:=1 to n do If defX[i]=1 Then UppCase(i);
^ Рассмотрим систему:

37x1 + 10,1 x2 +9 x3 = –16,5

+8,2 x1 –37 x2 +9 x4 = –35,45

+9 x2+8,2 x3 – 37 x4 = –18,7

+9 x1 – 37 x3+10,1 x4 = –7,42
Программа вычисления корней данной системы приведена ниже:
uses crt; const n=4;

type qw=array[1..n,1..n] of real; Linia=array[1..n]of real;

const MotL:qw= ((-37,10.1,9,0),(8.2,-37,0,9),(0,9,8.2,-37),(9,0,-37,10.1));

BotL:Linia= (-16.5,-35.45,-18.7,-7.42);

var m1,m2:qw; x,b1,b2:Linia; aa,ss,zz:real;i,j,k,q,tt:integer;

Procedure CoeFA(i,j,k:byte);

begin m2[i,j]:=m1[i,j] - m1[i,k]*m1[k,j]/m1[k,k] End;

Procedure FreeB(i,k:byte);begin b2[i]:=b1[i]-b1[k]*m1[i,k]/m1[k,k] End;

BEGIN clrscr; For i:=1 To n Do x[i]:=0; For i:=1 to n Do b1[i]:=BotL[i];

For i:=1 to n Do For j:=1 To n Do m1[i,j]:=MotL[i,j];

For i:=1 to n Do For j:=1 to n Do m2[i,j]:=0;

For j:=1 to n Do m2[1,j]:=m1[1,j]; b2[1]:=b1[1];

For tt:=2 To n Do

Begin For i:=tt to n Do m2[i,tt]:=0;

For i:=tt To n Do For j:=2 to n Do CoeFA(i,j,tt-1);

For i:=tt to n Do FreeB(i,tt-1);

For i:=1 to n Do For j:=1 To n Do m1[i,j]:=m2[i,j];

For i:=1 to n Do b1[i]:=b2[i] End;

zz:=0; X[n]:=b2[n]/m2[n,n];

For i:=n-1 DownTo 1 Do

Begin zz:=b2[i]; q:=n;

For j:=i To n-1 Do Begin zz:=zz-m2[i,q]*x[q]; dec(q); End;

x[i]:=zz/m2[i,i] End;

For i:=1 to n Do WriteLn('X',i,'=',X[i]:6:4); Repeat Until KeyPressed END.

Система имеет следующее решение:

x1=1.0119 x2=1,4288 x3=0,7233 x4=1,0133.

Похожие:

Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconИсследование системы линейных алгебраических уравнений общего вида....
Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность систем. Элементарные преобразования систем
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconЛабораторная работа №8 Тема : Решение систем линейных алгебраических...
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений. Вычисление значений квадратичной формы
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconКурс «Алгебра и аналитическая геометрия» 1 курс 1 семестр (темы и...
Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу)
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconРешение оду в частных производных выполняется сеточными методами,...
Цель работы: освоить принципы построения математических описа­ний свойств, объектов проектирования. Изучить методы и алгоритмы реше­ния...
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconРешение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Исследование остаточных членов
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ icon8 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Сходимость. Остаточные члены
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconЛинейная алгебра операции над матрицами и их свойства
Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность систем. Элементарные преобразования систем
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconРешение алгебраических уравнений в пакете MathCad
Субд ms access. Типы бд. Понятие субд. Рабочее пространство ms access. Создание реляционной бд
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconСистемы линейных уравнений
Правило прямоугольника. Признак несовместности системы. Базисные неизвестные. Свободные неизвестные. Целочисленный контроль. Общее...
Решение системы алгебраических уравнений на ЭВМ iconПрактическая работа №1 Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений»
Задание: Решить слау с помощью встроенной функции lsolve(M,V) и с помощью блока given…Find(x1,x2,x3). Результаты сравнить. Для проверки...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница