Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно




Скачать 98.16 Kb.
НазваниеРешение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно
Дата публикации10.03.2013
Размер98.16 Kb.
ТипРешение
skachate.ru > Математика > Решение
Олена Хитрова

Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського

«Харківський національний університет»

(науковий напрям: Транспорт)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ СОСУДА, ИСПОЛЬЗУЕМОГО ДЛЯ ВОДЯНЫХ ЧАСОВ, С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ
Ключевые слова: клепсидра, эффекты нестационарности, квазистационарное решение.
Введение
Решается задача определения формы сосуда, который обеспечивает равномерное опускание свободной поверхности жидкости, перетекаю­щей из верхней его части в нижнюю. Такой сосуд называется водяные часы (клепсидра). Рассматриваемая задача интересовала гидродинами­ков давно, но существующие решения [1] были получены с использованием уравнения Бер­нулли, справедливого только для стационар­ного движения. На самом деле данное течение является существенно нестационарным, т.к. на свободной поверхности скорость постоянна, но по мере опускания самой поверхности уменьшается её площадь, следо­вательно, с течением времени уменьшается расход жидкости. При исследовании нестационарных течений необходимо определять производную потенциала по вре­мени, что само по себе представляет самостоя­тельный интерес.




Рис.1. Схема сосуда

Задача решается в предположении, что течение одномерное, то есть составляющей скорости, перпендикулярной оси симметрии сосуда, можно пренебречь по сравнению с осевой составляющей, и свободная поверхность во все время движения считается плоской. Обозначим через площадь отверстия в дне сосуда. Координату z, направленную вверх, будем отсчитывать от этого отверстия (см. рис. 1). Пусть в начальный момент времени свободная поверхность, которая опускается с постоянной скоростью v, находится на высоте H, а в момент времени t – на высоте h. Тогда . Введем обозначения S(z) - переменная площадь поперечного сечения сосуда; V (z) – скорость жидкости в этом сечении. Из условия постоянства расхода через любое поперечное сечение сосуда можно записать

(1)

Площадь свободной поверхности S(h) с течением времени изменяется, и, следовательно, V(z) также будет зависеть от времени. Приведем вначале решение в предположении, что эффектами нестационарности можно пренебречь (квазистационарное решение), а затем сравним его с решением, учитывающем нестационарность. В учебнике [1] приводится квазистационарное решение рассматриваемой задачи. В указанных выше обозначениях, полученный там результат, можно записать так

(2)
^ Основная часть
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно, что при больших h такое допущение справедливо и не должно влиять на форму сосуда, но при уменьшении h ошибка будет увеличиваться. В частности, при h=0 формула (2) даёт S(h)=0, а должно быть S(h)=S0. Решение, учитывающее скорость , может быть получено из уравнения Бернулли. В этом случае зависимость площади поперечного сечения сосуда от высоты принимает вид

(3)

В отличие от формулы (2) при h=0 формула (3) дает правильный ответ S(0)=S0. Первые производные от площади S по высоте h при h→0 принимают такие значения

. (4)

Формулы (3), (4) запишем через радиусы соответствующих сечений

. (5)

Для решения нестационарной задачи воспользуемся уравнением Коши-Лагранжа

. (6)

Здесь - потенциал скорости. Все остальные обозначения общепринятые. Возьмем в качестве первого сечения донное сечение, в качестве второго – сечение, отстоящее от донного на расстоянии z, и вычислим разность . Учитывая, что разность потенциалов в двух точках равняется циркуляции скорости по линии, соединяющей эти точки, можно записать, , поэтому

.

Здесь учтено, что потенциал вводится в системе координат, связанной с сосудом, поэтому – это независимая координата, и дифференцировать по верхнему пределу не нужно.

Из формулы (1) с учетом равенства получим

, (7)

откуда .

Запишем уравнение (6) для донного сечения и для сечения, совпадающего в данный момент времени со свободной поверхностью.

. (8)

Остальные параметры, входящие в уравнение (6), определяют также как и для стационарного случая. Подставим равенство (8) в уравнение Коши-Лагранжа

. (9)

Откуда окончательно получим интегро-дифференциальное уравнение относительно искомой площади поперечного сечения [2].

. (10)

Определим производную при h→0. В этом случае и числитель, и знаменатель правой части уравнения (10) стремятся к нулю. Раскроем эту неопределенность.

По теореме о среднем значении, можно записать

, 0<

и, используя формулу Тейлора, найдем

, 0<

Формулу (12) можно преобразовать к виду



Так как обе величины и лежат между нулем и h, то при h→0, они также стремятся к нулю, поэтому получим

(11)

В частности, для осесимметричного сосуда

(12)

Продифференцировав выражение (12), после несложных преобразований, найдем вторую производную функции S(h):

. (13)

Для определения получаем неопределенность типа , раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим

, (14)

откуда находим S”(0)= 0.

Сравнение формул (4), (5) и (11), (12), (14) показывает, что независимо от начальных данных, непосредственно у донного отверстия тангенс угла между осью сосуда и его образующей при решении задачи с учетом нестационарности в два раза меньше, чем при квазистационарном решении. Для более детального сравнения формы сосудов, можно построить образующие, задающие форму осесимметричных сосудов. В первом случае это можно сделать непосредственно по формуле (3), во втором необходимо решить интегродифференциальное уравнение (10). Чтобы не решать это уравнение для каждого набора величин , и , приведем его к безразмерному виду. Так как перечисленные величины входят в уравнение в виде безразмерного комплекса параметров , назовем его относительной высотой и обозначим через . Кроме того, введем относительную площадь :

,. (15)

Равенства (3) и (4) имеют вид:

, (16)

и уравнение (10) можно преобразовать к виду:

. (17)

где .

Если уравнение (17) разрешить относительно входящего в него интеграла, а затем обе части продифференцировать по , то оно сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

. (18)

По аналогии с формулами (11) и (14) можно получить:

(19)

Откуда видно, что функция допускает разложение

(20)

Таким образом, форму сосуда можно получить численно, решив уравнение (18) с граничными условиями. Это решение можно провести каким-либо стандартным методом. Но самостоятельный интерес представляет собой построение численного метода решения интегро-дифференциального уравнения (17), так как, вероятно, не всегда уравнение такого типа можно снести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Уравнение (17), с учетом граничного условия , численно можно решить по аналогии с тем, как это делается в задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Учитывая, что h изменяется от нуля до H, весь интервал интегрирования можно разбить на K отрезков длины и уравнение (17) решать последовательно для и т. д. При и . При этих значениях можно найти для . Для каждой последующей величины величину можно определить по известным значениям и для предыдущего значения . При этом находится по формуле (17). Интеграл, входящий в эту формулу также можно определить численно по известным значениям σ в узлах . Таким образом, получится величина σ при каждом значении

Н


Рис.2. Форма сосуда:

нестацинарная методика; квазистационарная методика

а рис.2 показаны результаты расчётов формы осесимметрич­ного сосуда. Форма образующей пока­зана в безразмерном виде , где .

В квазистационарной мето­дике уравнение образующей запи­сывается в виде

.

При величина для обоих сосудов равна единице. При увеличении кривые расходятся, но по величине радиуса один сосуд от другого отличается незначи­тельно.

В формулу (8) входят две пе­ременные величины – производ­ная S’ на уровне свободной по­верхности и интеграл по всему объему жидкости. Производная S’ определяет нестационарность в силу того, что согласно формуле (7) от нее зависит, как меняется с течением времени скорость жидкости в различных точках сосуда, а наличие интеграла связано с тем, что силы инерции зависят от массы всей жидкости. Так как формы сосудов, полученные из двух решений, по величине радиуса отличаются незначительно, то и рассматриваемый интеграл для обоих сосудов будет практически одним и тем же. Значит, основной вклад во влияние эффектов нестационарности будет определяться изменением производной S’(h). Выясним, как эти факторы влияют на скорость опускания свободной поверхности. Для этого из уравнения Коши-Лагранжа, учитывающего нестационарность течения, найдем скорость опускания свободной поверхности в сосуде заданной формы, и затем воспользуемся этой формулой для нахождения указанной скорости в сосуде, полученном из квазистационарного решения. Из уравнения (9) можно записать: .

Для квазистационарного решения обозначим скорость V, для которой проектируется сосуд, через , тогда по формуле (3) получим:

.

Найдем действительную скорость опускания свободной поверхности в сосуде, форма которого получена из квазистационарного решения

.

Из полученного равенства видно, что при h→∞ ,, а при h→0, . Потому, скорость свободной поверхности в сосуде, найденная из квазистационарного решения, при больших h мало отличается от заданной скорости . При уменьшении высоты, несмотря на небольшое отличие радиуса сосудов из-за значительного различия в величине производной S´(h), это отличие возрастает. При h→0 квадрат действительной скорости получается в два раза меньше требуемой.

Таким образом, на проявление эффектов нестационарности основное влияние оказывает производная от площади поперечного сечения сосуда по высоте на уровне свободной поверхности.

Рассмотрим предложенный численный метод решения интегродифференциального уравнения. Расчеты показывают,что при выборе достаточно малой величины ∆η численный метод устойчив, но при увиличении ∆η устойчивость теряется. Произведем оценку максимально допустимого шага ∆η при использовании метода Эйлера для решения уравнения (17) [3]. Пусть - полученное в расчетах значение величины σ на n – ом слое. соответствующие величине точное значение σ. - погрешность величины , и тогда

. (21)

Используя уравнение (17) по заданному значению находится величина , по аналогии с равенством (18), можно записать

(22)

Требуется определить такое ∆η, чтобы выполнялось неравенство . Так как производная σ´ при возрастании η убывает, оценку ошибки производем и при малых η.

Вычислим интеграл, входящий в формулу (17). Учитывая, что в разложении (20) отсутствует член порядка , при малых можно записать .

Тогда , и

.

После подстановки в это равенство соотношений (21) и (22), получим

.
Для точных значений σ также должно выполняться аналогичное соотношение

.
Вычитая это равенство из предыдущего, при малых η найдем

.

Из записанного равенства видно, что при малых ∆η таких, что выражения в скобках положительно , и счет устойчив. При увеличении ∆η погрешность приобретает другой знак по сравнению с , но до тех пор, пока выражение в скобках остается больше минус единицы.
Учитывая, что , получим

Поэтому, чтобы предложенный численный метод решения интегродифференциального уравнения (17) был устойчив, величину шага интегрирования необходимо выбирать меньше четырех безразмерный единиц. Эта оценка подтверждается численным экспериментом. При ∆η=3,5 счет устойчив, при ∆η=4 устойчивость теряется.
Выводы
В предлагаемой работе показано, что эффекты нестационарности существенно влияют на форму сосуда. Без учета указанных эффектов в нижней части сосуда квадрат действительной скорости получается в два раза меньше требуемой. В работе получено интегродифференциальное уравнение для зависимости площади поперечного сечения сосуда от высоты. Построен численный метод решения полученного уравнения. Выполнены аналитические оценки сходимости и устойчивости численного метода. Проведены численные расчёты.
Список использованных источников
1.Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит., 1963. – Т1. – 560 с.

2.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. – 303 с.

3.Крылов В.И. Бобков В.В. Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977. – Т2. – 399 с.


Похожие:

Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconЭкипаж, запряженный тройкой лошадей, проехал за час 15 км. С какой...
Между лисой и зайцем 10м. Когда лиса поймает зайца, если она бежит со скоростью 8 м/сек, а он – со скоростью 7 м/сек?
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconКонтрольная работа №1 по теме «механическое движение. Масса тела. Плотность вещества»
Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч, а автобус – со скоростью 18 м/с. Сравните скорости автобуса и автомобиля
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconМеханика жидкости и газа
Связь между скоростью и площадью поперечного сечения в энергоизолированном потоке
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconНайти токи в схеме и сделать проверку баланса мощности, если Е
Инены неподвижными проводниками, сопротивлением которых можно пренебречь. Под действием силы, вызванной однородным магнитным полем...
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconЧем ограничена скорость реакции человека: скоростью работы мышц или нервной системы?
Нужно отметить, что мы сначала отдергиваем руку, а затем чувствуем боль. Это связано с тем, что от болевых рецепторов в мозг сигнал...
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconЗадачи №71-82 [пр. №2]
Определить диаметр штуцера для подачи в аппарат g (кг/с) газа или жидкости со скоростью w (м/с) при средней температуре tср (˚С),...
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconЧто является мерой коррозионной стойкости металлов?
Охватывает всю поверхность металла. Сплошная коррозия может быть равномерной (рис 1, а), если процесс протекает с одинаковой скоростью...
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconПарапсихология и психофизика. 1998. №2. С. 89
Обнаружив, что информацию с большой скоростью можно передать и в сверх узкой полосе частот (эффект нелинейной модуляции), мне удалось...
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconЛитература: Методические указания к практическим занятиям составлены...
Из-за релятивистского сокращения длины эта фигура изменяет свою форму. Как она будет выглядеть для неподвижного наблюдателя, если...
Решение (2) получено в предположении, что скоростью опускания свободной поверхности можно пренебречь по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия очевидно iconКакова средняя скорость автомобиля ?
Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью 60 км/ч, остальную часть пути со скоростью 80 км/ч. Какова средняя скорость...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница