Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных»




Скачать 56.72 Kb.
НазваниеЛабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных»
Дата публикации04.10.2013
Размер56.72 Kb.
ТипЛабораторная работа
skachate.ru > Математика > Лабораторная работа
ФГБОУ ВПО "Брянский государственный технический университет"

Кафедра «Компьютерные технологии и системы»


Лабораторная работа №4


«решение дифференциальных уравнений в частных производных»


Выполнили:

студенты гр. 08-САПР

Попов И.С.

Семченко Е.В.
Проверил:

Филиппова Л.Б.

.
Брянск 2011

  1. Цель работы

Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических задач с использованием программного средства MathCAD.

2.Задание

Металлическая пластина, жестко закрепленная по краям, как показано на рисунке, равномерно нагружена по площади (нагрузка − P). Прогиб пластины W описывается уравнением Пуассона: где D − изгибная жесткость ; Е − модуль упругости; h − толщина пластины; ν − коэффициент Пуассона.

Рассчитайте прогиб пластины при исходных данных, приведенных в таблице. На краях пластины используйте граничное условие W = 0.

A, мм

180

B, мм

65

C, мм

100

D, мм

50

P, Н

50

h, мм

5

E, Н/м2

70·109

v

0,28

^ Таблица 1. Исходные данные.

3.Теоретическая часть

Метод конечных элементов
основывается на том, что любое непрерывное распределение физической переменной u(x,y,z,t) в расчетной области, например деформацию или температурное поле, можно аппроксимировать набором кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). Данные элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

Оператор принято обозначать значком Δ, который в этом случае носит название оператора Лапласа.

Для решения уравнения Пуассона или Лапласа на области, имеющей квадратную форму, в пакете MathCAD служат функции relax и multigrid.

Функция relax использует метод релаксации для нахождения приближенного решения. Обращение к функции relax выполняется следующим образом:

relax(a, b, c, d, e, f, u0, R),

где a, b, c, d, e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты вышеприведенного уравнения; f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в точках области, в которой ищется решение; u0 – квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе области и начальное приближение для решения внутри области; R – спектральный радиус итераций Якоби.

Параметр R управляет сходимостью алгоритма релаксации. Оптимальное значение ^ R зависит от параметров задачи и выбирается в пределах 0 < R < 1.

Метод конечных разностей заключается в том, что дифференциальное уравнение в частных производных заменяется соответствующей ему системой алгебраических уравнений. Решение этой системы дает приближенное решение для искомой функции u(x,y,z,t).

4.Решение

Решим поставленную задачу в MathCAD.


















































































Результат – матрица значений прогиба в узлах сетки представлены в

таблице 2.


Таблица 2. Матрица значений прогиба.

Построим график прогиба пластины в 3-х мерном измерении(рис. 1) на котором можно видеть значения прогиба в каждой узловой точке.



Рис. 1. График прогиба
Построим график прогиба пластины (рис. 2).






Рис. 2. График прогиба металлической пластины
Вывод: В ходе работы мы рассмотрели методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, приобрели навыки решения задач с использованием программного средства MathCAD. Была решена задача о распределении нагрузки на тонкой пластине, в результате чего был получен график, исходя из которого можно судить о равномерности распределения нагрузки.

Похожие:

Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconРешение дифференциальных уравнений в частных производных
Целью работы является изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и приобретение навыков решения практических...
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconРешение оду в частных производных выполняется сеточными методами,...
Цель работы: освоить принципы построения математических описа­ний свойств, объектов проектирования. Изучить методы и алгоритмы реше­ния...
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconВопросы к курсу «Дополнительные главы уравнений в частных производных»....
Типы уравнений в частных производных. Понятие символа. Эллиптические уравнения и дифференциальные операторы
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» icon1. Задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения первого...
Основные понятия о дифференциальных уравнениях в частных производных. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения. Решение...
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconЛабораторная работа № Решение дифференциальных уравнений
Оду имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих...
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconРасписание весеннего семестра 2007/2008 уч года
Дополнительные главы уравнений в частных производных Проф. Коровина Мария Викторовна п-8а
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconМетоды решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Целью работы является изучение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и приобретение навыков решения практических...
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconКонтрольная по математике в задачах 301 – 320 исследовать сходимость ряда
В задачах 361 – 380 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconВопросы к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения, теория функций...
Общее решение, общий интеграл. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, их общее решение и общие интегралы
Лабораторная работа №4 «решение дифференциальных уравнений в частных производных» iconДипломный проект тема: «Оценка параметров обыкновенных дифференциальных...
Тема: «Оценка параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами»

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница