С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика




Скачать 228.21 Kb.
НазваниеС. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика
страница1/4
Дата публикации30.08.2013
Размер228.21 Kb.
ТипМетодические указания
skachate.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3   4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Кафедра "Прикладная математика и эконометрика"
Б.В. Берсенадзе

С.И. Никитин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания к

выполнению контрольных работ
для студентов заочного отделения
институтов ЭУПС, РЭУ, ТМиО, ТРБ, ЮФ.
Санкт-Петербург
2009


^ Требования к оформлению контрольных работ
1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях в клетку. На обложке необходимо указать: название института Академии; название кафедры (математики и математических методов в экономике); название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице надо оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номер задачи по данному сборнику. В условия задач надо сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, и только после этого приступать к их решению.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

Таблица 1 (выбор параметра т)

А

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

т

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Таблица 2 (выбор параметра п )

В

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

п

5

3

2

4

1

4

5

2

3

1

Например, если шифр студента 1604 — 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 2. Полученные т = 4 и п = 2 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.


  1. Теория вероятностей.




    1. Случайные события.

      1. В ящике находятся одинаковых пар перчаток черного цвета и одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

      2. В урне находятся три шара белого цвета и шаров черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара; б) не менее двух белых шаров.

      1. В урне находятся белых и черных шара. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.



    1. Случайные величины.



      1. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:






-2

-1

0







0,2

0,1

0,2






Найти вероятности , , и дисперсию , если математическое ожидание .

      1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:



Найти:

а) параметр а; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины в интервал

;

г) математическое ожидание и дисперсию .

Построить график функций и .


      1. Случайные величины имеют геометрическое, биноминальное и пуассоновское распределения соответственно. Найти вероятности , если математическое ожидание , а дисперсия .

      2. Случайные величины имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности , если у этих случайных величин математические ожидания и среднее квадратические отклонения равны m.



  1. Математическая статистика.




    1. Численная обработка данных одномерной выборки.


Выборка объемом изменений задана таблицей:




















5

13





19

10

3


где – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения , , .

      1. Построить полигон относительных частот .

      2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

      3. По критерию проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .


Примечание. Для расчетов и рекомендуется перейти к условным значениям и, взяв за ложный нуль значение с наибольшей частотой, использовать суммы и .

Методические указания к выполнению контрольной работы №3 «Теория вероятностей и математическая статистика»


Тема 12.1 Случайные события.
Общие указания.


1. Решение задач этой темы основано на простейшей модели теории вероятностей для вычисления вероятностей, в которой , называют «Классической схемой», а определение вероятности – формулой классической вероятности. В этой модели основным понятием является понятие элементарный исход (элементарное событие).

Например, в задаче 12.1.1 элементарный исход – извлеченная перчатка – черная (или бежевого цвета). Для вычисления вероятности по классической формуле применяют следующий алгоритм:


  1. Уяснить, в чем состоит эксперимент.


2. Установить, являются ли исходы равновозможными и несовместными.


3. Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти (например, А – извлечена черная пара).


4. Определить пространство элементарных исходов  и число его элементов - .
5. Подсчитать число исходов, благоприятствующих событию – N(А) (для события А).
6. Найти вероятность события А (или В, С,…), согласно формуле классического определения вероятности:

P(A)=

2. Кроме классического определения вероятности, при решении задач применяются основные формулы теории вероятностей теоремы сложения и умножения. Следует помнить, что при использовании формул сложения вероятностей нужно проверять несовместность (или совместность) событий, а при использовании формул умножения – независимость (или зависимость) событий. С этим связан правильный выбор формул, так как вычисление вероятностей искомых событий основано на составлении формул, выражающие эти события через элементарные события с помощью операций сложения, умножения и отрицания (противоположных событий), а затем применяются основные формулы.
Задача 12.1.1.


В ящике находятся (m+3) одинаковых пар перчаток черного цвета и (n+2) одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что извлечена черная пара перчаток – левая и правая; В – извлечена бежевая пара (левая и правая). Тогда событие С=А+В – извлеченные из ящика две перчатки одного цвета и образуют пару. А и В – несовместные события. Тогда Р(С)=Р(А)+Р(В) – формула сложения для несовместных событий. Вероятности Р(А) и Р(В) вычислим по формуле классического определения вероятности:
1)  , где  - число всех исходов (сколькими способами можно извлечь две перчатки из всего количества перчаток).  - число благоприятных исходов (сколькими способами можно извлечь из черных перчаток две, образующих пару). Для подсчета  и  применяются формулы комбинаторики. В данном случае – сочетание 

По условию задачи, в ящике (m+3) пар черных перчаток, (n+2) пар бежевых. Зададим значения параметров : m=5, n=2. Тогда в ящике m+3=5+3=8 пар черных перчаток и n+2=2+2=4 пар бежевых. Значит, всего перчаток . Отсюда,  – всего способов извлечь 2 перчатки из 24.
Найдем N(A). Так как левых 8 перчаток и правых 8, то по принципу умножения из комбинаторики . По классическому определению:



 

2)  , где  – тоже, что и для события А .

 (Четыре способа выбрать левую бежевую и 4 способа выбрать правую бежевую и по принципу умножения  способов выбора левой и правой перчаток).


 
Тогда Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,232+0,058=0,29
Задача 12.1.2.


В урне находится три шара белого цвета и (n+1) шаров черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:
а) Ровно 2 белых шара;
б) Не менее 2 белых шаров.

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами:


1 способ.
а) Пусть А – событие, что среди извлеченных три раза шаров окажется ровно два белых. Обозначим через В событие, что при однократном извлечении шар будет белым, тогда ему противоположное событие -  шар будет черным. Событие А можно представить в виде:

 , где

- первый и второй раз извлекли белый шар, а третий раз – черный;
 – первый и третий раз извлекли белый, а второй раз черный;
 – первый раз извлекли черный шар, а второй и третий раз – белый.

Так как слагаемые в А – несовместные события и каждое из произведений состоит из независимых событий, то по теоремам сложения и произведения вероятностей, получим:





 .



По условию задачи в урне (n+1) шаров черного цвета. Пусть n=3, тогда в урне n+1=3+1=4 черных шара. Всего в урне: 3 белых +4 черных = 7 шаров.
Так как после извлечения и определения цвета шар возвращается в урну, то вероятность события В – извлечен белый шар постоянная в каждом испытании.
 (всего шаров семь, благоприятствующих случаев 3 – белых). Тогда
 и

  1   2   3   4

Похожие:

С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconРабочая учебная программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
...
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconРеферата по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Реферат по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» является самостоятельной работой студентов по закреплению...
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconРоссийской Федерации Пермский институт (филиал)
Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания и задания для контрольной работы по теме “Теория вероятностей...
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconУчебно-методический комплекс дисциплин Линейная алгебра, Математический...
«Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика» для направления подготовки 080100 Экономика / сост. В....
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconВопросы к экзамену по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Предмет теории вероятностей. Применение теории вероятностей в экономических исследованиях
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconКурсовая работа «Теория вероятностей и математическая статистика»
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconТеория вероятностей и математическая статистика Контрольные работы...
Нефедова Г. А., Зуева Н. Г., Мишустина Н. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания и контрольные...
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconМетодические рекомендации для студентов по освоению дисциплины Для...
Для прохождения курса теория вероятностей и математическая статистика полезно завести две тетради (объёмом примерно 48 страниц) для...
С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconЗадания из контрольных работ по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"

С. И. Никитин теория вероятностей и математическая статистика iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине...
Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница