Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В




Скачать 271.26 Kb.
НазваниеКомпьютерный набор и верстка: Чудаков А. В
страница1/3
Дата публикации02.03.2013
Размер271.26 Kb.
ТипКонтрольные вопросы
skachate.ru > Математика > Контрольные вопросы
  1   2   3


Общеобразовательная гимназия №18


Соловей Б. Г., Федотова Т.И.

Обратные тригонометрические функции



Компьютерный набор и верстка:

Чудаков А. В.
г.КОРОЛЕВ МО

2000

Раздаточный материал №3 по теме:

“Обратные тригонометрические функции”

Содержание








Стр.

§1

Простейшие тригонометрические уравнения…………………...

2

§2

Определение обратных тригонометрических функций………...

4

§3

Некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями………………………………………………….


12

§4

Производные обратных тригонометрических функций………

18




Контрольные вопросы …………………………………………..

21




Примеры и упражнения …………………………………………..

22




Ответы и указания…………………………………………………

33




Литература…………………………………………………………

36


§1. Простейшие тригонометрические уравнения
При решении простейших тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных углов используются понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Напомним решения простейших тригонометрических уравнений:

(1) если sinx = a , то x = (-1)k arcsin a + π k;

(2) если cosx = a , то x = ±arccos a + 2π k;

(3) если tgx = a , то x = arctg a + π k;

(4) если ctgx = a , то x = arcctg a + π k, k  Z.

Формулы (3) и (4) особых трудностей при использовании не вызывают, так как тригонометрические функции y=tgx и y=ctgx в своих областях определений монотонны (то есть имеют один характер изменения функции: тангенс возрастает, а котангенс убывает). По этой причине в пределах своего наименьшего периода, равного π (для тангенса и для котангенса ), эти функции принимают все свои значения по одному разу.

Формулы (1) и (2) представляют собой объединения двух решений: для четного и нечетного k в формуле (1) и для разных знаков плюс и минус в формуле (2). Объединения двух решений сделаны для удобства при получении сразу всех решений; однако, при этом надо иметь ввиду, что в пределах наименьшего периода для функций y=sinx и y=cosx, равного 2π, есть частные значения функций, равные ±1, которым соответствуют по одному значению аргумента. Так, например, если sinx=1, то x=π/2 + 2πn, n  Z; если sinx=-1, то x=3π/2 + 2πp, p  Z; если cosx=1, то x=2πm, m  Z; если cosx=-1, то x=π + 2π k, k  Z.

В дополнение к формулам (1)(4) удобно использовать еще одну обобщенную формулу для любых тригонометрических функций, если они встречаются в простейших тригонометрических уравнениях во второй степени. Пусть f 2 (x)=а, где f(x) – любая тригонометрическая функция; тогда:



Например, пусть tg 2x=3, тогда

Справедливость формулы (5) можно подтвердить для каждой тригонометрической функции непосредственно, учитывая, что



О наличии формулы (5) можно догадаться и из общих соображений: во-первых, наименьший период для четных функций |sinx|, |cosx|, |tgx| и |ctgx| равен  (аргумент меняется от -/2 до /2); во-вторых, раскрытие модуля в соотношении (6) предполагает два решения с разными знаками.

При использовании формулы (5) надо, конечно, иметь ввиду, что из соотношения f2(x)=0 следует f(x)=0 и далее используются формулы (1)(4). Например, пусть ctg2x=0, тогда ctgx=0 и x=π/2+πk, kZ, а не x=π/2+πk (если использовать механически формулу (5)). В последнем выражении одни и те же углы по сути перечисляются дважды. Если 2(x)=1, где (x) – синус или косинус, то (x)=1 и надо учитывать, что частные значения, равные 1, для синуса и косинуса встречаются в пределах наименьшего периода этих функций, равного 2, по одному разу. Например, пусть sin2x=1, тогда sinx=1 и имеем два решения: x1=π/2+2πm, mZ; и x2=3π/2+2πp, pZ. Эти решения можно объединить, что дает x=π/2+πn, nZ, а не x=π/2+πn, что опять-таки перечисляет каждый угол дважды. В случае, если cos2x=1, то cosx=1, что дает два решения: x1=2πk, kZ; и x2=π+2πp, pZ; которые можно объединить: x=πm, mZ. Использование формулы (5) дает совпадающий результат, но это возникает по той причине, что слагаемое arccos1 равно нулю и в ответе, естественно, опускается.

§2. Определение обратных тригонометрических функций
Вспомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, рассматривая их как функции, называемые обратными тригонометрическими. Итак, арксинусом числа а называется такое число b из отрезка [-/2; /2], синус которого равен а, то есть:

  1. arcsin a=b,

  2. где b  [-/2; /2],

  3. причем sin b=a,

  4. и a  [-1; 1].

Будем считать переменное число а из отрезка [-1; 1] независимым переменным (аргументом) и обозначим его, как обычно, через х. В свою очередь, переменное число b из отрезка [-/2; /2] будем считать зависимым переменным (то есть функцией) и обозначим его, как обычно, через y. Таким образом, имеем функциональную зависимость:

  1. y=arcsinx,

  2. где D(f): x  [-1; 1],

  3. а E(f): y  [-/2; /2].

График функции y=arcsinx изображен на рис. 1 сплошной линией. Область определения этой функции составляет промежуток [-1; 1] (формула (12)), а множество значений ограничивается промежутком [-/2; /2] (формула (13)). Из формулы (11), согласно определению арксинуса (формулы (7) и (9)), следует, что

  1. x=siny.

Если в формуле (14) x и y поменять ролями (то есть поменять оси координат), то получим известную тригонометрическую функцию y=sinx с привычными обозначениями для функции и аргумента. На рис. 1 эта функция изображена пунктирной линией на выбранном промежутке из области определения, равном

[
-/2;/2], где она монотонна (возрастает). Множество значений этой функции обычно и составляет промежуток [-1; 1].

Рис. 1

Тригонометрическую функцию y=sinx будем считать прямой функцией, а функцию y=arcsinx – ей обратной тригонометрической. Прямая и обратная ей функции симметричны относительно прямой y=x (биссектриса первого и третьего координатных углов). Отмечаемая симметрия естественно возникает, когда в выражении (14) x=siny меняем ролями переменные х и у. При этом множество значений прямой функции становится областью определения обратной ей функции, а промежуток монотонности из области определения прямой функции служит множеством значений обратной функции. Важно отметить, что характер монотонности обеих функций – прямой y=sinx и ей обратной y=arcsinx – остается один и тот же: обе функции возрастающие.

Если рассматривать функцию y=sinx во всей ее области определения, то обратная ей функция в силу периодичности прямой функции будет многозначна и обозначается в этом случае как ; . Но поскольку мы ограничиваемся изучением однозначных функций, то рассматриваем функцию y=arcsinx как главное значение функции y=Arcsinx (при этом в вышеприведенном соотношении n=0) и считаем, что ее множество значений ограничено промежутком [-/2; /2], который мы получаем, рассматривая прямую функцию y=sinx на участке, где она монотонна. Из определения обратной тригонометрической функции y=arcsinx следует, что:

(15) sin (arcsinx) = x, |x|  1;

(16) arcsin (sinx) = x, |x|  /2;

(17) arcsin (cosx) = /2-x, 0  x  .

Из рис. 1 видно, что функция y=arcsinx является нечетной. Это обстоятельство можно доказать и аналитически, исходя из определения нечетной функции (f(-x) = -f(x)). Итак, докажем, что:

(18) arcsin (-x) = -arcsinx, |x|  1.

Рассмотрим синусы обеих частей равенства (18): sin (arcsin (-x)) = sin (-arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arcsin(-x))=E(-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|1. Учитывая соотношение (15) и то обстоятельство, что синус является функцией нечетной, имеем: -x = -sin (arcsinx), -x = -x, что и доказывает справедливость соотношения (18).

Исходя из определений арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, можно рассмотреть обратные тригонометрические функции y=arccosx, y=arctgx и y=arcctgx. Кстати, они еще носят название аркфункций или обратных круговых. При этом вводятся в рассмотрение главные значения обратных тригонометрических функций, которыми и пользуются повсеместно, так как ограничиваются изучением однозначных функций. Мы будем при определении обратных тригонометрических функций исходить из свойств хорошо известных прямых тригонометрических функций, используя при этом симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (прямая у=х), а также свойство сохранения характера монотонности прямой функции и ей обратной.

Рассмотрим обратную тригонометрическую функцию y=arccosx. Для этого из области определения прямой функции y=cosx выбираем участок монотонности, равный промежутку [0; ]. Здесь прямая функция убывает; стало быть, и обратная ей функция y=arccosx также будет убывающей, имея множество значений, равное промежутку [0; ], численно совпадающее с участком монотонности прямой функции, то есть E(arccosx): y[0; ]. Множество значений прямой функции, равное промежутку [-1; 1], переходит в область определения обратной тригонометрической функции y=arccosx, то есть D(arccosx): x[-1; 1]. На рис. 2 график прямой функции y=cosx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arccosx – сплошной линией.

Р
ис. 2

Симметричность прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается следующим образом: а) обе функции пересекаются в точке, лежащей на прямой у=х; б) верхняя часть обратной функции (выше точки пересечения с прямой у=х) симметрична нижней части графика прямой функции (ниже точки пересечения с прямой у=х); в) нижняя часть графика обратной функции симметрична верхней части графика прямой функции.

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

  1. y=arccosx,

  2. где D(f): x  [-1; 1],

  3. а E(f): y  [0; ].

Из определения обратной тригонометрической функции y=arccosx следует, что:

  1. cos (arccosx) = x, |x|  1;

  2. arccos (cosx) = x, 0  x  ;

  3. arccos (sinx) = /2-x, |x|  /2.

Обратная тригонометрическая функция y=arccosx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению:

(25) arccos (-x)=-arccosx, |x|  1.

Доказательство: рассмотрим косинусы обеих частей равенства (25): cos(arccos (-x))=cos(-arccosx). Эта операция будет однозначной, так как функции, стоящие в обеих частях исходного соотношения, монотонны при |x|1, а их множества значений совпадают, то есть E(arccos(-x))=E(-arccosx). Учитывая соотношение (22), имеем: -x=-cos(arccosx), -x=-x, что и доказывает справедливость формулы (25).

Рассмотренные обратные тригонометрические функции y=arcsinx и y=arccosx связаны между собой соотношением:



Доказательство: перепишем соотношение (26) в виде: arccosx = /2–arcsinx. Рассмотрим косинусы обеих частей этого равенства: cos(arccosx)=cos(/2 – arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arccosx)=E(/2-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|1. С учетом соотношений (22) и (15) имеем: x = sin (arcsinx), x=x, что и доказывает справедливость соотношения (26).

Д
ля рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arctgx выберем участок монотонности прямой функции y=tgx, равный (-/2; /2), где эта функция возрастает; стало быть, и обратная ей функция y=arctgx будет возрастающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции численно будет служить множеством значений обратной функции, то есть E(arctgx): y  (-/2; /2). Поскольку множество значений прямой функции есть вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет служить вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arctgx): xR.

Рис. 3

На рис. 3 график прямой функции y=tgx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arctgx – сплошной линией. Из рисунка также видно, что функция арктангенс является нечетной, то есть:

(27) arctg (-x) = -arctgx, x  R,

что нетрудно также доказать и аналитически, как это было сделано при обосновании формулы (18).

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

(28) y=arctgx,

(29) где D(f): x  R,

  1. а E(f): y  (-/2; z/2).

Из определения обратной тригонометрической функции y=arctgx следует что:

  1. tg (arctgx) = x, x  R;

  2. arctg (tgx) = x, |x| < /2;

(33) arctg (ctgx) = /2 – x, 0 < x < .

Д
ля рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arcctgx выберем из области определения прямой функции y=ctgx участок монотонности, равный интервалу (0; ), где эта функция убывает; стало быть, обратная ей функция y=arcctgx также будет убывающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции будет численно служить множеством значений обратной функции, то есть E(arcctgx): y(0; ). Так как множеством значений прямой функции служит вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arcctgx): xR.

Рис. 4

На рис. 4 представлен график прямой функции y=ctgx пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arcctgx – сплошной линией. Симметрия прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается аналогично тому, как это было в случае с функцией y=arccosx. Обратная тригонометрическая функция y=arcctgx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению:

(34) arcctg (-x)=-arcctgx, xR,

которое доказывается аналогично тому, как это было сделано для функции

y=arccosx (формула (25)).

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

(35) y=arcctgx,

(36) где D(f): xR,

(37) а E(f): y  (0; ).

Из определения обратной тригонометрической функции y=arcctgx следует, что:

  1. ctg (arcctgx) = x, x  R;

  2. arcctg (ctgx) = x, 0 < x < ;

  3. arcctg (tgx) = /2-x, |x| < /2.

Обратные тригонометрические функции y=arctgx и y=arcctgx по аналогии с функциями y=arcsinx и y=arccosx связаны соотношением:

  1. arctgx+arcctgx=/2,

которое доказывается аналогично тому, как это было сделано при обосновании соотношения (26).

Функции, обратно пропорциональные синусу и косинусу, носят соответственно названия косеканса и секанса (то есть: 1/(sinx)=cosecx и 1/(cosx)=secx). Обратные тригонометрические функции y=arccosecx и y=arcsecx употребляются крайне редко и поэтому рассматриваться не будут.

§3. Некоторые соотношения между обратными

тригонометрическими функциями
Наряду с определениями обратных тригонометрических функций были рассмотрены связи между сходными функциями одного и того же аргумента (формулы (26) и (41)), свойство нечетности (формулы (18) и (27)) или отсутствие такового (формулы (25) и (34)), а также соотношения, вытекающие из самих определений обратных тригонометрических функций, которые в ряде случаев значительно упрощают преобразования с этими функциями (например, формулы (15), (16), (17)) для арксинуса и подобные им формулы для других функций).

Теперь рассмотрим некоторые соотношения между разными обратными тригонометрическими функциями. Прежде всего, докажем, что:









Доказательство формулы (42): Левая часть доказуемого равенства может быть представлена как где перед корнем берем знак плюс, так как по определению арккосинуса , а потому sin(arccosx)0. Далее, с учетом соотношения (22) имеем: что и доказывает справедливость формулы (42).

При доказательстве формулы (43) надо учитывать, что по определению арксинуса а потому левая часть соотношения (43), равная cos(arcsinx), положительна и представляется как что с учетом формулы (15) дает то есть то, что и требовалось доказать. Еще проще устанавливаются закономерности (44) и (45). Например, если в формуле (44): tg (arcctgx)=1/x, то левую часть можно представить как что с учетом соотношения (38) дает 1/x, то есть то, что и доказывает справедливость формулы (44).

Если соотношения (42)(45) рассматривать с точки зрения определения обратных тригонометрических функций, то получим соответственно формулы, связывающие сходные обратные тригонометрические функции:









В представленных соотношениях области определений заужены по следующим причинам: в формуле (46) функция арккосинус не является нечетной в отличие от функции арксинус, а потому равенство возможно только при ; в формуле (47) множество значений арккосинуса неотрицательно, а поэтому равенство возможно только при ; в формулах (48) и (49) множество значений функции арккотангенс положительно и требует того же от множества значений функции арктангенс, что реализуется при x>0.

Кстати, ограничения x  0 в формулах (48) и (49), а также в соотношениях (44) и (45), можно снять, если учесть, что функции y=arctgx и y=arcctgx при x    ограничены соответственно величинами -/2 и /2 для арктангенса, а также величинами 0 и  для арккотангенса.

Теперь представим формулы, которые фиксируют связи между разными обратными тригонометрическими функциями. Итак, имеем:

















Покажем справедливость некоторых формул. Рассмотрим соотношение (50): при |x|<1. Возьмем тангенсы от обеих частей доказуемого соотношения:, (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в интервале совпадают). Пусть arcsinx=, тогда sin =x. Итак, имеем Так как то Если 0 < x < 1, то и Если -1 < x < 0, то с учетом нечетности функций y=arcsinx и y=arctgx имеем: что и требовалось доказать.

Рассмотрим формулу (51):

Возьмем котангенсы от обеих частей доказываемого соотношения: (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в полуинтервале совпадают); пусть arcsinx=, тогда sin =x. Итак, имеем: Так как то При положительном x имеем: и что и требовалось доказать. Если x отрицательный, то, учитывая соотношения (18) и (34), имеем: что отличается от формулы (51) при положительном x. Учитывая доказательства формул (50) и (51), нетрудно доказать справедливость соотношений (52)  (57).

Если стоит обратная задача: установить связь между какими-либо обратными тригонометрическими функциями, то ее всегда можно решить, получив одну из приведенных выше формул. Так, например, получим связь между функциями арккосинус и арктангенс. Итак, пусть arccosx=arctg, где  подлежит определению. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: tg(arccosx) = =tg(arctg)= (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арктангенс монотонны, а множества их значений совпадают в полуинтервале ). Пусть arccosx=, тогда cos=x и надо определить tg; так как то и (знак плюс берем перед корнем по той причине, что arccosx  0 и tg(arccosx)=tg  0). tg= и имеем окончательно: при 0 что отличается от формулы (52).

Получим еще связь между функциями арккосинуса и арккотангенса. Итак, пусть arccosx=arcctg, где  подлежит определению. Возьмем котангенсы от обеих частей равенства: ctg(arccosx)=ctg(arcctg)= (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арккотангенс монотонны, а множества их значений в интервале (0; ) совпадают). Пусть arccosx=, тогда cos=x и надо определить ctg. Так как то при 0, а потому имеем: то есть При отрицательном x с учетом формул (25) и (34) имеем: то есть полученное соотношение при -1
Соотношения между обратными тригонометрическими функциями необходимо учитывать при интегрировании с помощью тригонометрических подстановок. Например, найти интеграл с помощью подстановки x=sint. Имеем: t=arcsinx и dx=cost dt, а интеграл при подстановке преобразуется к виду: Используя формулу понижения порядка имеем: (с учетом соотношения (43)).

§4. Производные обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций можно определить, используя правило взятия производной от обратной функции . Например, получим производную от функции y=arcsinx: так как x=siny (из определения функции арксинус), то , где знак перед корнем обусловлен тем, что , а косинус в этом промежутке неотрицательный; далее , то есть:



Второй способ определения производных от обратных тригонометрических функций использует соотношение, вытекающее из определений этих функций, и правило взятия производной от сложной функции (если , а , то есть , то ).

В качестве примера возьмем производную от функции : так как при , то , ,, где знак перед корнем обусловлен тем, что , а синус в это промежутке неотрицательный. Итак, имеем:



Получим производные от функций y=tgx и y=ctgx вторым и первым способом соответственно. Так как tg(arctgx)=x, то , , ; используя известное соотношение , получим: , то есть имеем окончательно:



Если y=arcctgx, то x=ctgy и ; так как , то получаем: ; далее, , то есть имеем:



Рассмотрим несколько типичных задач, в которых используются производные от обратных тригонометрических функций.

Задача 1. Построить график функции

Решение: ОДЗ: решим два неравенства:





итак, ОДЗ: x  R. Так как по определению арксинуса множеством его значений является промежуток, равный [-/2;/2], то график исходной функции будет лежать в этой горизонтальной полосе. Находим производную от исходной функции:



п
ри и функция возрастает, проходя через начало координат, так как и функция убывает, стремясь к оси абсцисс сверху при x+, и снизу при x-; при 1-x2=0, x=1, производная не существует, а поскольку сама исходная функция определена для всех x  R, то эти точки x=1 будут критическими. Найдём значения функции в этих точках: Полученных сведений достаточно, чтобы построить график данной функции, который и представлен на рис. 5.

Рис. 5.

Задача 2. Определить экстремумы функции y=x+2arcctgx.

Решение: ОДЗ: x  R; y'>0 при x<-1 и x>1, y'<0 при –1, а в точке x = 1 имеем минимум, равный .

Задача 3. Составить уравнение касательной к кривой y=arccos3x в точке пересечения этой кривой с осью ординат.

Решение: ОДЗ: -1  3x  1, -1/3  x  1/3; уравнение касательной запишем в виде: где точка касания имеет координаты (xo; yo); в нашем случае: тогда имеем: или


Контрольные вопросы
, Каковы области определений и множества значений обратных тригоно-

метрических функций?

Имеет ли периодическая функция себе обратную?

, Каковы соотношения, вытекающие из самих определений обратных три-

гонометрических функций?

, Каковы соотношения между сходными обратными тригонометрически-

ми функциями одного и того же аргумента?

, Доказать нечетность функций arcsin x и arctg x

, Доказать соотношения:

arccos(-x) = - arccos x,

arcctg(-x) =-arcctg x,

Почему прямая и обратные функции симметричны относительно прямой y=x?

Доказать, что производная от четной функции будет нечетной, а производная от нечетной функции будет четной.

, Найти производные от любой обратной тригонометрической функции двумя способами.

, Установить соотношения между сходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арксинусом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арккосинусом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арктангенсом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арккотангенсом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

^ Примеры и упражнения
Среди формул, представленных соответствующими номерами в вышеизложенном тексте, есть такие, которые доказываются по аналогии с обоснованиями других соотношений. Для лучшего усвоения изложенного материала по обратным тригонометрическим функциям докажем и эти формулы.

Упражнение 1. Доказать, что:







Упражнение 2.Установить связь между данными обратными тригонометрическими функциями: а) арктангенс и арккосинус; б) арккотангенс и арккосинус.

Упражнение 3. Решить уравнения:



Упражнение 4. Доказать формулы для производных от обратных тригонометрических функций способами, отличными от реализованных при выводе формул (58)(61).

Найдем производные от некоторых сложных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

Пример 3.

Решение:



Упражнение 5. Найти производные от данных функций:





Упражнение 6. Вычислить интеграл с помощью замены x=2sint.

Решим некоторые уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение: согласно соотношению (26) Обозначим arcsinx=z1, a arccosx=z2; тогда будем иметь симметричную (относительно переменных z1 и z2) систему:



Используя теорему Виета, получим квадратное уравнение:

где Стало быть: Так как система (*) симметрична, то еще имеем:

Итак, окончательно имеем ответ:

Пример 5. Решить уравнение:

Решение: согласно соотношению (54): тогда имеем: далее, при
  1   2   3

Похожие:

Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconКомпьютерный
Версия 1, 2006. Компьютерный практикум, программная и методическая поддержка курса
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconКонтрольная работа по дисциплине «Компьютерный практикум»
«Компьютерный практикум» студентам заочной формы обучения специальности «Экономика»
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconДжонатан Райс Эти странные японцы Внимание: иностранцы! 0 Компьютерный набор: Сергей Петров
Население Японии – 125 миллионов, то есть почти половина всего населения Соединенных Штатов Америки. А теперь попробуйте согнать...
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconЗадание Адаптивная верстка темы дизайна. Корректное отображение в браузерах
Задание Адаптивная верстка темы дизайна. Корректное отображение в браузерах Safari из ios 7, Google Chrome, Firefox, Opera, Internet...
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconИнформационно-аналитические данные об образовательном учреждении
В школе 21 учебный кабинет, спортивный зал, спортивная площадка, компьютерный класс, компьютерный методический кабинет, мастерская...
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconКонтрольная работа дисциплины компьютерный практикум (часть 1)
Содержание дисциплины «Компьютерный практикум» основывается на возможности использования различных программных средств и технологий...
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В icon11 мая 1996 г. Устав некоммерческого партнерства “Обнинский Компьютерный Клуб” (ок клуб)
Некоммерческое партнерство “Обнинский Компьютерный Клуб”, именуемое далее "Клуб", организуется и функционирует на основании Закона...
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconТехнология найма,подбора и оценки персонала
«Где и когда потребуются работники?»Различают понятия «набор» и «наем кадров». Набор кадров массовое привлечение на работу персонала...
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconЗдравствуйте Уважаемый Соискатель
В связи с увеличением работ мы проводим набор сотрудников на должность Наборщик текстов на дому. Набор на вакансию ограничен
Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В iconГосударственная противопожарная служба
Разработаны Всероссийским научно-исследовательским институтом противопожарной обороны (вниипо) (А. П. Ашаков, О. Г. Севостьянов)...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница