Контрольные вопросы




Скачать 411.42 Kb.
НазваниеКонтрольные вопросы
страница1/3
Дата публикации06.05.2013
Размер411.42 Kb.
ТипКонтрольные вопросы
skachate.ru > Математика > Контрольные вопросы
  1   2   3



Раздаточный материал №5 по теме

“Гиперболические и обратные гиперболические функции”

  1. Содержание


§1.  Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

§2. Определение и свойства обратных гиперболических функций. . . . . . . . . . 166

§3. Соотношения между обратными гиперболическими функциями. . . . . . . . 171

§4. Связь обратных гиперболических функций с логарифмами. . . . . . . . . . . . 176

§5. Производные от обратных гиперболических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 178

§6. Интегралы и первообразные с гиперболическими и обратными гиперболическими функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Примеры и упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ответы к упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
      1. Приложение 1. Таблица значений функции Arsh x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    1. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194



§1. Гиперболические функции
Линейные комбинации показательных функций вида и рассматриваются как новые функции и обозначаются так и . Они называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. С помощью этих функций определяются еще две функции и , которые называются соответственно гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом. При этом , .

Из определений вытекают следующие свойства гиперболических функций:

функции shx, chx и thx определены для всех значений аргумента;

  1. функция cthx определена всюду, за исключением точки х=0;

  2. функции shx, cthx и thx являются нечетными;

  3. функция chx является четной;

  4. предельные значения гиперболических функций соответственно равны:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

6). прямая y=1 является правосторонней асимптотой функций thx и сthx;

7). прямая y=-1 является левосторонней асимптотой функций thx и cthx;

8). ось 0у является вертикальной асимптотой функции cthx.

Графики гиперболических функций представлены на рисунках 1 – 4.

Рис.1 Рис.2



Рис.3 Рис.4

Название "гиперболические функции" связано с тем обстоятельством, что формулы x=a·ch t и y=a·sh t (*) параметрически задают гиперболу, подобно тому, как формулы x=a·cos t и y=a·sin t параметрически задают окружность. Действительно, если возвести в квадрат соотношения (*) и вычесть из первого соотношения второе, то получим x2 - y2=a2(ch2t - sh2t). Учитывая соотношение ch2t - sh2t=1, получим x2 - y2 2, то есть каноническое уравнение гиперболы.

Исходя из определений гиперболических функций, можно получить различные соотношения между этими функциями, схожие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями или отличающиеся знаком перед некоторыми слагаемыми. Получать эти соотношения проще, руководствуясь мнемоническим правилом (оно доказывается в комплексном анализе): вместо пишем ch x, а вместо пишем i , где i – мнимая единица ( i= , i =-1). Таким образом, имеем :

;

;

;

;

.

По аналогии с табличными интегралами от тригонометрических функций некоторые простые интегралы, содержащие гиперболические функции, тоже можно считать табличными. Зная производные от гиперболических функций

, нетрудно видеть, что:







  1. +C;





Например, Будем считать табличными еще два интеграла:



  1. .

Покажем справедливость формулы (VII), используя так называемую универсальную гиперболическую подстановку: Ясно, что, кроме того: , , .Итак, имеем: =, что и требовалось доказать. Исходя из определения гиперболического косинуса, покажем справедливость формулы (VIII): .

Другой вид первообразной в интеграле (VIII) получим, используя универсальную гиперболическую подстановку:

.

Разные первообразные для интеграла (VIII) должны отличаться на постоянную величину, которая может быть и нулем. Покажем, что , то есть: . Если это равенство имеет место, то оно справедливо для всех значений . Пусть =0, тогда имеем . Таким образом, . Покажем справедливость этого соотношения при любом . Пусть >0, тогда имеем , , (*)

, , тогда ; на этом интервале операция взятия тангенса от обеих частей соотношения (*) будет однозначной, ибо функции слева и справа монотонно возрастают. Итак, получаем , , (**). В левой части полученного соотношения используем формулы: , , , что дает , то есть то же самое, что и в правой части (**). Если , то в соотношении (*) имеем возьмем тангенсы от обеих частей полученного соотношения , , . Так как знаменатель дроби отличен от нуля (в самом деле,), то имеем . Умножим обе части равенства на : , , , то есть то, что в соотношении (**). Таким образом, показано, что разность между первообразными и постоянна и равна . Кстати, для случая равно , а для она равно ; следовательно, при любом множества значений функций и одинаковы и равны , что ясно из вида правой части соотношения (*), где , ибо .

Если в интеграле (VII) использовать определение гиперболического синуса, то получим первообразную, равную . В самом деле, . Покажем, что разность первообразных интеграла (VII) равна нулю, то есть, . Имеем . При равенство справедливо, при имеем: , так как , , то получим: , +=+-++-1, что дает ; при имеем =, , , что уже было рассмотрено ранее.

§2. Oпределение и свойства обратных гиперболических функций

Обратные гиперболические функции определяются как функции, обратные cоответствующим гиперболическим функциям. Если у = Ar sh x, то x = sh у, где D: x?R, E: y?R.
Рис.5
На рис.5 показана прямая функция y=sh x и ей обратная y = Ar sh x. Графики этих функций симметричны относительно прямой у=х. Кроме того, прямая функция и ей обратная имеют один и тот же характер монотонности: обе функции в данном случае возрастающие.

Из самого определения функции ареа-синус следует, что

(1). Ar sh(sh x)=x,

(2). sh(Ar sh x)=x.

Функция ареа-синус нечетна, то есть

(3). Ar sh(-x)= -Ar sh(x).

Доказательство: так как E(Ar sh α) и E(-Ar sh β) совпадают с D(sh γ), то операция взятия синусов гиперболических от обеих частей доказываемого равенства будет однозначной: sh(Ar sh(-x)) = sh(-Ar sh x); с учетом формулы (2) и того обстоятельства, что синус гиперболический есть функция нечетная, имеем -x = - sh(Ar sh x), -x =-x, что доказывает справедливость соотношения(3).

Если у =Ar ch x, то x= ch y, где D:x?[1;+), E: y?[0;+).
Рис.6.
Будем учитывать только положительную часть графика функции ареа-косинус, которая представлена на рис.6 сплошной линией и которая симметрична правой ветви графика прямой функции у = ch х (функция у = ch х монотонна при х?[0, +) и, следовательно, имеет обратную функцию, определенную на множестве своих значений [1, +)). Характер монотонности прямой и обратной функций одинаков: обе функции в данном случае возрастают.

Из самого определения функции ареа-косинус следует, что

(4). Ar ch(ch x) =x, x 0;

(5). ch(Ar ch x) =x, x1.

Функция ареа-косинус не является ни четной, ни нечетной.



Соотношение (7) следует из соотношения (6), если рассматривать соотношение (6) с точки зрения определения обратной гиперболической функции ареа-синус.
Докажем формулу(6): с учетом формулы (5); знак плюс перед корнем выбирается по той причине, что E(Ar ch x) 0, а потому и sh(Ar ch x) 0. Имеем еще аналогичные формулы:

Докажем соотношение (8): с учетом формулы (2); знак плюс перед корнем выбираем по той причине, что множество значений косинуса гиперболического положительно.
Если y=Ar th x, то x= th y, где D: E : y?R.



Рис. 7.

На рис.7 представлены графики прямой и обратной ей функций: y=th x и y =Ar th x, которые имеют один и тот же характер монотонности: обе функции возрастающие. Из самого определения функции ареа-тангенс следует, что

(10). th(Ar th x) = x,

(11). Ar th(th x) = x, x?R.

Функция y=Ar th x нечетна:



что нетрудно доказать по аналогии с тем, как это было сделано при обосновании формулы (3); при этом необходимо учитывать то, что E(Ar th α) и Е(-Ar th β) совпадают с D(th γ).

Если y = Ar cth x, то x = cth y, где D: , E: .



Рис. 8.

На рис.8 представлены графики прямой функции y = cth x (пунктирная линия) и обратной ей функции y = Ar cth x (сплошная линия). Эти функции имеют один и тот же характер монотонности: обе функции убывающие. Из определения функции ареа-котангенс следует, что





Функция у= Ar cth(x) нечетна



что нетрудно доказать по аналогии с тем, как это было сделано при обосновании формулы (3) с учетом того обстоятельства, что E(Ar cth α) и
E(-Аr cth β) совпадают с D(cth γ). Имеют место соотношения:





Если рассматривать эти соотношения с точки зрения определения обратных гиперболических функций, то имеем:



Доказательство формул (16) и (17) простое. Докажем соотношение (16):

с учетом формулы (13).

  1   2   3

Похожие:

Контрольные вопросы iconРабочая программа и контрольные задания по дисциплине «маркетинг»
«Маркетинг», перечень литературных источников, контрольные вопросы к зачету, а также индивидуальные контрольные задания и методические...
Контрольные вопросы icon3. задания на контрольные работы студенты выполняют три контрольные...
Студенты выполняют три контрольные работы, в которых необходимо решить три задачи и ответить на вопросы для самопроверки. Номера...
Контрольные вопросы iconКонтрольные вопросы : Как раскрываются понятия «орфография»
Вопросы и задания для самостоятельной работы при подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Практикум по орфографии и пунктуации»...
Контрольные вопросы iconКонтрольные вопросы

Контрольные вопросы iconКонтрольные вопросы и вопросы для самостоятельной работы
Прежде чем приступить к выполнению эксперимента, студент должен внимательно ознакомиться с методическим описанием лабораторной работы....
Контрольные вопросы iconКонтрольные вопросы по философии

Контрольные вопросы iconКонтрольные работы необходимо выполнять в последовательности №1, №2, №3
Необходимо ответы на контрольные вопросы начинать с написания латинских, русских и химических названий лекарственных веществ. Ответы...
Контрольные вопросы iconВопросы по теоретическому материалу: Сформулируйте основные требования к специалистам коммерции
Задание №2 – ответить на контрольные вопросы по теоретическому материалу, представленному в данном учебном пособии
Контрольные вопросы iconКонтрольные вопросы
Элементы комбинаторики
Контрольные вопросы iconКонтрольная работа №1 две задачи Контрольная работа №2 одна задача Контрольные вопросы 3 шт
Каждый студент выполняет предусмотренные учебным планом две контрольные работы, включающие три задачи и ответы на три контрольных...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница