Основные понятия




Скачать 463.26 Kb.
НазваниеОсновные понятия
страница1/4
Дата публикации24.02.2013
Размер463.26 Kb.
ТипУрок
skachate.ru > Математика > Урок
  1   2   3   4
ВВЕДЕНИЕ.

Изучение темы “Моделирование на ЭВМ” предполагается сначала в 9 классе (базовый курс) в объеме 10 часов. Затем в рамках профильного курса по специальности "Лаборант-программист" эта тема изучается в углубленном варианте. В сборнике представлены разработки 13 уроков по теме “Моделирование” в 11 классе. Приводится тематическое планирование, конспекты уроков, тексты задач, опросов, контрольных, практических работ.

В 9 классе в теме “Моделирование” рассматривались следующие вопросы: примеры моделей, что такое модель, системы и модели в компьютерном моделировании, динамическая модель, статическая модель, имитационная модель, моделирование случайности, гипотеза и модель, модельный эксперимент.

По окончании изучения данной темы учащиеся должны знать: что такое модель, типы моделей, что такое модельный эксперимент, технологию построения компьютерных моделей; уметь строить и применять компьютерные модели.

Однако, отсутствие многих математических знаний и умений затрудняет преподавание данной темы. Поэтому можно включить в курс 11 класса тему «Методы прикладной математики и построение математических моделей при решении задач на ЭВМ». По программе на эту тему отводится 20 часов, но возможно увеличение до 28 часов.

Освоив некоторые темы прикладной математики, переходим непосредственно к моделированию.

^ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ


п/п

Кол-во
Часов

Тема урока

Основные
понятия




1

1

(28 ч) ^ Методы прикладной математики и построение математических моделей при решении задач на ЭВМ

Численное интегрирование

Практическая работа №1

Интеграл, площадь криволинейной трапеции, метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.




2

Численные методы решения уравнений

Аналитический, графический способ решения уравнений, метод половинного деления, отделение корней на ЭВМ.




2

Лабораторная работа №1

“Метод половинного деления”







2

Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера, метод Гаусса




2

Интерполирование функций методом Лагранжа

Интерполирующая функция, интерполяционный многочлен Лагранжа.




2

Метод геометрических координат. Пакет EUREKA.

Возможности пакета Эврика.




2

Решение статических, вероятностных задач.

Вычисление средних величин, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, точность оценки математического ожидания, показатель достоверности математического ожидания.




1

Зачет № 1 по теме "Методы прикладной математики"







2

^ Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент

Модель, моделирование, этапы моделирования, виды и типы моделей, примеры моделей, компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент, этапы компьютерного моделирования.




2

^ Имитационное моделирование

Имитационное моделирование, примеры, значение.




4

Моделирование экономических процессов

Этапы компьютерного моделирования, математическая модель.




2

Моделирование физических процессов

Этапы компьютерного моделирования, математическая модель, вычислительный эксперимент.




2

Решение экологических задач.

Этапы компьютерного моделирования, математическая модель, вычислительный эксперимент.




1

Контрольная работа № 1

“Моделирование”




Урок №1-2.

Тема: “Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент”.

Вопросы.

1. Модель. Моделирование. Роль моделирования в научных и практических исследованиях. Типы моделей.

2. Компьютерное моделирование. Построение компьютерной модели.

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявить результаты зачетной работы № 1. Провести анализ.

2. Актуализация опорных знаний.

Повторение технологической цепочки решения задач с помощью ЭВМ:

  • - постановка задачи;

  • - разработка математической модели;

  • - выбор метода решения;

  • - разработка алгоритма;

  • - составление программы;

  • - отладка программы;

  • - получение и анализ результата

^ 3. Беседа учителя о роли моделирования в научных и практических исследованиях.

В 1870 г. английское Адмиралтейство спустило на воду новый броненосец “Кэптен”. Корабль вышел в море и перевернулся. Погиб корабль. Погибли 523 человека. Это было совершенно неожиданно для всех. Для всех, кроме одного человека. Им был английский ученый-кораблестроитель В.Рид, который предварительно провел исследования на модели броненосца и установил, что корабль опрокинется даже при небольшом волнении. Но ученому, проделывающему какие-то несерьезные опыты с “игрушкой”, не поверили лорды из Адмиралтейства. И случилось непоправимое...

С понятием “модель” мы сталкиваемся с детства. Игрушечный автомобиль, самолет или кораблик для многих были любимыми игрушками равно как и плюшевый медвежонок или кукла. Дети часто моделируют (играют в кубики, обыкновенная палка им заменяет коня и т.д.).

Модели и моделирование используются человечеством давно. С помощью моделей и модельных отношений развились разговорные языки, письменность, графика. Наскальные изображения наших предков, затем картины и книги - это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям.

^ Модель - неоценимый и бесспорный помощник инженеров и ученых.

Технология моделирования требует от исследователя умения ставить корректно проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки, решать задачи с использованием компьютерных систем, проводить анализ компьютерных экспериментов. Для успешной работы исследователю необходимо проявлять активный творческий поиск, любознательность и обладать максимумом терпения и трудолюбия.

Навыки моделирования очень важны человеку в жизни. Они помогут разумно планировать свой распорядок дня, учебу, труд, выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, разрешать удачно различные жизненные ситуации.

^ Приведем несколько примеров, поясняющих, что такое модель.

Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как 6оно будет выглядеть. Это модель.

Для того, чтобы объяснить, как функционирует система кровообращения, лектор демонстрирует плакат, на котором стрелочками изображены направления движения крови. Это модель.

Перед тем как запустить в производство новый самолет, его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью соответствующих датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции. Это модель.

На стене висит картина, изображающая яблоневый сад в цвету. Это модель.

^ Глобус - это модель земного шара. Манекен в магазине - модель человека.

Перечислять примеры моделей можно сколь угодно долго. Предложить учащимся привести примеры моделей.

^ Попытаемся понять, какова роль моделей в приведенных примерах.

Конечно, архитектор мог бы построить здание без предварительных экспериментов с кубиками. Но он не уверен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо. Если оно окажется некрасивым, то многие годы потом оно будет немым укором своему создателю, лучше уж поэкспериментировать с кубиками.

Конечно, лектор мог бы для демонстрации воспользоваться подробным анатомическим атласом. Но эта подробность ему совершенно не нужна при изучении системы кровообращения. Более того, она мешает изучению, т.к. мешает вниманию сосредоточиться на главном. Лучше уж воспользоваться плакатом.

Конечно, можно запустить самолет в производство и не зная, какие напряжения возникают, скажем, в крыльях. Но эти напряжения, если они окажутся достаточно большими, вполне могут привести к разрушению самолета. Лучше уж сначала исследовать самолет в трубе.

Конечно, богатейшие эмоциональные впечатления можно получить стоя в благоухающем яблоневом саду. Но если мы живем на Крайнем Севере и у нас нет возможности увидеть яблоневый сад в цвету (была такая замечательная песня "Яблони в цвету, какое чудо..."). Можно посмотреть на картину и представить этот сад.

Во всех перечисленных примерах имеет место сопоставление не которого объекта с другим, его заменяющим: реальное здание из кубиков; серийный самолет -единичный самолет в трубе; система кровообращения - схема на плакате; яблоневый сад-картина, его изображающая.

Итак, можем дать определение модели:

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Как мы уже говорили, человек применяет модели с незапамятных времен при изучении сложных явлений, процессов, конструировании новых сооружений. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, нежели реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом: недопустимы, например, эксперименты с экономикой страны в познавательных целях; принципиально неосуществимы эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Солнечной системы и т.п.

^ Модель позволяет научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта. Экспериментировать в этих целях с реальным объектом в лучшем случае бывает неудобно, а зачастую просто вредно или вообще невозможно в силу ряда причин (большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в нежелательное и необратимое состояние и т.п.)

^ Процесс построения модели называется моделированием.
Другими словами, моделирование - это процесс изучения строения и свойств оригинала с помощью модели.

^ Различают материальное и идеальное моделирование.






Материальное моделирование, в свою очередь, делится на физическое и аналоговое моделирование.

Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

^ Примеры: в астрономии - планетарий, в архитектуре - макеты зданий, в самолетостроении - модели летательных аппаратов и т.п.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями).

Например,

a1x1+b1x2=c1

a2x2+b2x2=c2

Что скрывается за этими знаками?

Математик: “Это система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Но что именно она выражает, сказать не могу”.

Инженер-электрик: “Это уравнения электрического напряжения или токов с активными напряжениями”.

Инженер-механик: “Это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин”.

Инженер-строитель: “Это уравнения, связывающие силы деформации в какой-то строительной конструкции”.

Инженер-плановик: “Это уравнения для расчета загрузки станков”.

Каков же из ответов правильный? - Не удивляйтесь, каждый из них верен. Да, одна и та же система линейных алгебраических уравнений может отображать разные действия. Все зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами a, b, c, и символами неизвестных x1 и x2.

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Основным типом идеального моделирования является знаковое моделирование. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики. Классическим примером математического моделирования является описание и исследование законов механики Ньютона средствами математики.

^ Процесс моделирования состоит из следующих этапов:

Объект  Модель  Изучение модели  Знания об объекте

Основной задачей процесса моделирования является выбор наиболее адекватной к оригиналу модели и перенос результатов исследования на оригинал. Существуют достаточно общие методы и способы моделирования.

^ В настоящее время весьма эффективным и значимым является метод компьютерного моделирования.

4. Компьютерное моделирование. Построение компьютерной модели.

В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных инструментов познания.

Компьютерное моделирование начинается как обычно с объекта изучения, в качестве которого могут выступать: явления, процесс, предметная область, жизненные ситуации, задачи. После определения объекта изучения строится модель. При построении модели выделяют основные, доминирующие факторы, отбрасывая второстепенные. Выделенные факторы перекладывают на понятный машине язык. Строят алгоритм, программу.

Когда программа готова, проводят компьютерный эксперимент и анализ полученных результатов моделирования при вариации модельных параметров. И уже в зависимости от этих выводов делают нужные коррекции на одном из этапов моделирования: либо уточняют модель, либо алгоритм, либо точнее, более корректнее определяют объект изучения.

Компьютерные модели проходят очень много изменений и доработок прежде, чем принимают свой окончательный вид. Этапы компьютерного моделирования можно представить в виде схемы:

^ Объект  Модель  Компьютер  Анализ  Информац. модель

!________! !______! !_________! !______!

модел-е прогр-е к.эксперимент знание

В методе компьютерного моделирования присутствуют все важные элементы развивающего обучения и познания: конструирование, описание, экспериментирование и т.д. В результате добываются знания об исследуемом объекте-оригинале.

Однако важно не путать компьютерную модель (моделирующую программу) с самим явлением. Модель полезна, когда она хорошо согласуется с реальностью. Но модели могут предсказывать и те вещи, которые не произойдут, а некоторые свойства действительности модель может и не прогнозировать. Тем не менее, полезность модели очевидна, в частности, она помогает понять, почему происходят те или иные явления.

Современное компьютерное моделирование выступает как средство общения людей (обмен информационными, компьютерными моделями и программами), осмысления и познания явлений окружающего мира (компьютерные модели солнечной системы, атома и т.п.), обучения и тренировки (тренажеры), оптимизации (подбор параметров).

^ Компьютерная модель - это модель реального процесса или явления, реализованная компьютерными средствами.

Компьютерные модели, как правило, являются знаковыми или информационными. К знаковым моделям в первую очередь относятся математические модели, демонстрационные и имитационные программы.

^ Информационная модель - набор величин, содержащий необходимую информацию об объекте, процессе, явлении.

Главной задачей компьютерного моделирования выступает построение информационной модели объекта, явления.

^ Самое главное и сложное в компьютерном моделировании - это построение или выбор той или иной модели.

При построении компьютерной модели используют системный подход, который заключается в следующем. Рассмотрим объект - солнечную систему. Систему можно разбить на элементы - Солнце и планеты. Введем отношения между элементами, например, удаленность планет от Солнца. Теперь можно рассматривать независимо отношения между Солнцем и каждой из планет, затем обобщить эти отношения и составить общую картину солнечной системы (принципы декомпозиции и синтеза).

Некоторые характеристики моделей являются неизменными, не меняют своих значений, а некоторые изменяются по определенным законам. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае - статическими.






При построении моделей используют два принципа: дедуктивный (от общего к частному) и индуктивный (от частного к общему).
При первом подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. Здесь при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Например, можно построить модель свободно падающего тела на основе известного закона Ньютона ma=mg-Fсопр. и в качестве допустимого приближения принять модель равноускоренного движения для малого промежутка времени.

Второй способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем синтез. Здесь широко используется подобие, аналогичное моделирование, умозаключение с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Например, подобным способом происходит моделирование строения атома. Вспомним модели Томсона, Резерфорда, Бора.

^ Метод имитационного моделирования (метод Монте - Карло)

 = 3,1415922653... .

Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа.

Само название “Монте-Карло” происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из механических приборов для получения случайных величин является рулетка. Для вычисления площади круга единичного радиуса проведем эксперимент.

^ Постановка задачи вычисления числа  методом Монте-Карло

Для вычисления числа  с помощью метода Монте-Карло рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке (1,1). Его площадь равна  . Круг вписан в квадрат, площадь которого равна 4. Выбираем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим Nкр число точек, попавших при этом внутрь круга. Геометрически очевидно, что Sкруга/Sквадрата=Nкр./N (5.bmp)






Формула (1) дает оценку числа  . Чем больше N, тем больше точность этой оценки. Следует заметить, что данный метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не "просто случайными", а еще и "равномерно разбросанными" по всему квадрату. Для моделирования равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1 в языке программирования Паскаль используется датчик случайных чисел - функция RANDOM. Это специальная компьютерная программа, которая выдает последовательность случайных величин равномерно распределенных от 0 до 1.

Таким образом, суть компьютерного эксперимента заключается в обращении к функции RANDOM для получения координат точки x и у N раз. При этом определяется попадет ли точка (х,у) в круг единичного радиуса. В случае попадания увеличивается на 1 значение величины Nкр.

^ 5. Домашнее задание.

  1. Выучить конспект. 2. Составить алгоритм и программу вычисления числа  по методу Монте-Карло.

Урок №3-4.

  1   2   3   4

Похожие:

Основные понятия iconТема 1: Основные понятия и определения (2 часа)
Цели и задачи курса. Основные понятия теории систем. Кибернетика. Принципы управления. Основные понятия теории автоматического управления...
Основные понятия iconРеспублики таджикистан о разрешительной системе
Статья Основные понятия в настоящем Законе применяются следующие основные понятия
Основные понятия iconСтатья Основные понятия, используемые в настоящем Федеральном законе
Для целей настоящего Федерального закона используются следующие основные понятия
Основные понятия iconЗакон республики беларусь
Статья Основные понятия и их определения в настоящем Законе применяются следующие основные понятия: воздействие на окружающую среду...
Основные понятия iconОбщие положения
Статья Основные понятия в целях настоящего закона следующие основные понятия употребляются в значении: вода питьевая вода, которая...
Основные понятия iconЗакон республики молдова
Статья Основные понятия в настоящем законе используются следующие основные понятия: вредный продукт материал, предназначенный для...
Основные понятия icon«Профилактика и сокращение распространения табачной зависимости» Глава Основные понятия
В медицинский регламент дополнительно к Закону Кыргызской Республики «О защите здоровья граждан Кыргызской Республики от вредного...
Основные понятия iconСтатья Основные понятия Для целей настоящего Закона Воронежской области...
Статья Законодательство Воронежской области о животном мире и среде его обитания
Основные понятия iconОглавление введение
Основные понятия и основные принципы лицензирования предпринимательской деятельности
Основные понятия iconПирамида Многомерности". Основные носители информации. Понятия "
Многомерность Мироздания. "Пирамида Многомерности". Основные носители информации. Понятия "Космос" "Вселенная" "Мироздание"

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница