6-7 класс




Скачать 309.78 Kb.
Название6-7 класс
страница6/9
Дата публикации28.01.2014
Размер309.78 Kb.
ТипДокументы
skachate.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9
^

8-9 класс, первая лига


1. Три окружности проходят через точку X. Пусть A, B, C – точки их пересечения, отличные от X; A′ – вторая точка пересечения прямой AX и окружности BCX; точки B′ и C′ определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC′, ABC и ABC подобны. (А. Заславский)
2. В четырёхугольнике ABCD прямые, симметричные диагонали BD относительно биссектрис углов B и D, пересекаются в точке P, расположенной внутри четырёхугольника ABCD. Докажите, что проекции точки P на стороны ABCD являются вершинами равнобедренной трапеции или параллелограмма. (А. Заславский)
3. Взаимно простые натуральные числа x, y, z удовлетворяют уравнению x2 + y2 = z4. Докажите, что число xy делится на 7. (В. Сендеров)

Ср. с 7В-3.
4. Докажите, что существуют натуральные числа m, n, для которых
< 10–9. (В. Берник)

5. Алхимик хранит эликсир в четырёх одинаковых сосудах. Можно сливать два сосуда в один (сосуд может вместить весь эликсир), или поставить два сосуда на чашечные весы и лить из третьего в тот, где эликсира меньше, пока весы не уравновесятся (или эликсир в третьем сосуде не кончится). Алхимик помнит, что так можно получить сосуд ровно с одной унцией эликсира (но не помнит, как), и что в каждом сосуде целое число унций эликсира (но не помнит, сколько). Первоначально один из сосудов пуст. Докажите, что можно, попереливав, восстановить исходные количества в каждом сосуде и при этом узнать, где сколько эликсира. (А.Шаповалов)
6. В некотором государстве 80 городов. Один из них является столицей. Некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть по дорогам в столицу ровно одним способом. Назовем город захолустным, если из него выходит ровно одна дорога. Для каждого захолустного города подсчитали количество дорог в пути, соединяющем этот город со столицей. Докажите, что сумма всех подсчитанных чисел меньше 2005. (А. Скопенков)

Ср. 7В-5.
7. Улицы города проходят либо с севера на юг, либо с запада на восток. С одного перекрёстка выезжают три велосипедиста: на север, на восток и на юг. Через некоторое время они встречаются на другом перекрёстке, причём каждый въезжает на него в том же направлении, в каком он выехал с первого перекрёстка. Докажите, что один из велосипедистов пересёк траекторию другого. (Б. Френкин)
8. См. 7В-6.


^

8-9 класс, высшая лига


1. Треугольник вписали в окружность. Через точку пересечения его медиан провели произвольную хорду. Докажите, что сумма квадратов расстояний от её концов до всех вершин треугольника в три раза больше квадрата длины самой хорды. (М. Волчкевич)
2. См. 81-2.
3. См. 81-2.
4. Имеется 400 положительных чисел, каждое из которых меньше суммы любых восьми других. Докажите, что среди них можно выбрать пять чисел, четвёртая степень каждого из которых меньше суммы четвёртых степеней любых двух других. (И. Акулич)
5. См. 81-5.
6. См. 7В-6.

7. См. 81-7.
8. В клетках a1 и g7 шахматной доски записаны числа 1 и 13 соответственно. Докажите, что можно, и притом единственным образом, расставить в остальные клетки числа так, чтобы каждое число, кроме тех двух, которые были на доске изначально, равнялось полусумме своих наибольшего и наименьшего соседей (клетки называются соседними, если они имеют общую сторону). (В. Гуровиц)

Ср. 7В-7.
Финальный тур
^

7 класс, высшая лига, вариант А


1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках P и Q соответственно. Прямая PQ пересекает продолжение стороны AC в точке R. Докажите, что BQ = AR. (А. Акопян)
2. В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 120. На стороне AC отмечена точка M, делящая отрезок AC в отношении 1:2. Найдите угол MBC. (А. Хачатурян)
3. Даны числа a и b. Известно, что среди чисел a + b, a b, ab и a/b три числа равны, а четвёртое отлично от них. Найдите все возможные значения a и b. (Б. Френкин)
4. Двое играют в игру. Первый пишет на доске (если она пуста) или дописывает справа к написанному числу одну из цифр 1, 2 или 3. Второй может приписать в любом месте или вычеркнуть в любом месте числа две одинаковые цифры, стоящие рядом, либо приписать или вычеркнуть два одинаковых стоящих рядом двузначных числа. Вначале доска пуста. Может ли первый добиться того, что на доске появится не менее чем 2005-значное число? (И. Иванов)
5. Докажите, что в вершинах любого конечного графа можно расставить натуральные числа так, чтобы наименьшее общее кратное любой пары чисел в вершинах, соединённых ребром, было равно одному и тому же числу, а наименьшее общее кратное чисел в любой паре вершин, не соединённых ребром, от этого числа отличалось. (А. Шаповалов)
6. Докажите, что для любого натурального n > 10 все натуральныечисла от 1 до n можно разбить на две группы так, что произведение чисел в одной из групп отличалось от произведения чисел в другой группе не более, чем на 3% (проценты берутся от меньшего числа). (И. Акулич)
7. Каждая клетка доски 88 окрашена в какой-то цвет, при этом в любой строке и любом столбце есть клетки только двух цветов. Какое наибольшее количество различных цветов может быть использовано? (Д. Калинин)
8. S(n) – сумма всех делителей натурального числа n (включая 1 и само число). Для каких n выполняется равенство S(2n) = 3S(n)? (А. Блинков)


1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

6-7 класс iconАнализ воспитательной работы в огкоу ульяновском детском доме «Гнёздышко»...
Суворовском училище, 4 – в мбоу сош №8; остальные в мбоу сош №27. Количество учащихся по классам: 1 класс – 0 чел., 2 класс – 1 чел.,...
6-7 класс iconJava есть статические и нестатические классы: Статические классы:...
Статический класс – то же самое, что и вложенный класс в языке С. Областью видимости которого является объемлющий класс (класс Х)....
6-7 класс iconСлет активистов школьных музеев города и района
Гвиап: Гаврилова Полина, Разуваева Ксения, Анисимова Соня, Лобова Вика, Матвеев Даниил(8акласс), Волчкова Анастасия, Силкина Нелли,...
6-7 класс iconФамилия Имя Отчество пол логин оу класс баллы 3 этап победитель/призер 9 класс

6-7 класс icon3 класс (2 ребенка) Э. Э. Кац
Рабочая тетрадь №1, 2 и проверочные диагностические работы к учебнику «окружающий мир» 3 класс
6-7 класс iconРабочая программа по математике 1 «Б» класс
Учебники: М. И. Моро,С. И. Волкова, св. Степанова, Математика,1 класс, М.: «Просвещение» 2011г
6-7 класс iconЛекция 21
Абстрактный класс это класс, в котором есть хоть одна чисто виртуальная функция (чвф)
6-7 класс iconТематическое планирование литературное чтение 4 класс
Учебник: Климанова Л. Р., Горецкий В. Т., Голованова М. В. Родная речь: 4 класс. М.: Про­свещение, 2006
6-7 класс iconПетровский Ярослав Евгеньевич родился 30 октября 1995 года в г. Харькове....
В 2001 году поступил в 1-й класс детской школы искусств им. Н. Д. Леонтовича по классу фортепиано к преподавателю Полежаевой Инне...
6-7 класс iconЛабораторные работы
Во второй работе вам необходимо будет создать приложение на базе архитектуры документ/вид, класс вида должен быть порожден от класса...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница