Решение: Вид сырья




НазваниеРешение: Вид сырья
страница1/11
Дата публикации14.12.2013
Размер0.86 Mb.
ТипРешение
skachate.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Оглавление





Задание 1 2

Задание 2 11

Задание 3 14

Задание 4 39

Список литературы 43







Задание 1



Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать сырьё трёх видов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется 4 ед. сырья первого вида, 2 – ед. 2-го и 3 – 3-го вида. На изготовление единицы изделия В расходуется 3 ед. сырья 1-го вида, 2 – ед. 2-го вида, 2 – ед. 3-го вида сырья. На складе фабрики имеется сырья 1-го вида 55 ед., 2-го – 30, 3-го – 37 ед. От реализации единицы готовой продукции фабрика имеет прибыль 5 тыс. руб., а от продукции В прибыль составляет 4 тыс. руб.

Найти оптимальный план выпуска продукции, при котором предприятие получит наибольшую прибыль.

Составить математическую модель исходной задачи. Найти решение симплексным методом и графически.
Решение:


Вид сырья

Запасы сырья

Расход сырья на 1 ед. продукци

А

Б

1

55

4

3

2

30

2

2

3

37

3

2

Прибыль от реализации

5

4


F(X) = 5x1 + 4x2 → max при ограничениях:

4x1 + 3x2≤55

2x1 + 2x2≤30

3x1 + 2x2≤37

Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5.

4x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 55

2x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 30

3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 37

F(X) = 5x1 + 4x2

Переход к СЗЛП.

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (х345 ).

Соответствующие уравнения имеют вид:

4x1 + 3x2 + x3 = 55

2x1 + 2x2 + x4 = 30

3x1 + 2x2 + x5 = 37

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 5x1 + 4x2 при следующих условиях-ограничений.

4x1 + 3x2 + x3≤55

2x1 + 2x2 + x4≤30

3x1 + 2x2 + x5≤37

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x8.

4x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 55

2x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 30

3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 37

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

4

3

1

0

0

1

0

0

2

2

0

1

0

0

1

0

3

2

0

0

1

0

0

1


Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x6, x7, x8,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,0,55,30,37)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x6

55

4

3

1

0

0

1

0

0

x7

30

2

2

0

1

0

0

1

0

x8

37

3

2

0

0

1

0

0

1

F(X0)

0

-5

-4

0

0

0

0

0

0


Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

min (55 : 4 , 30 : 2 , 37 : 3 ) = 121/3

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

min

x6

55

4

3

1

0

0

1

0

0

133/4

x7

30

2

2

0

1

0

0

1

0

15

x8

37

3

2

0

0

1

0

0

1

121/3

F(X1)

0

-5

-4

0

0

0

0

0

0

0


4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x1 .

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x8 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1 .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:


B

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

55-(37 • 4):3

4-(3 • 4):3

3-(2 • 4):3

1-(0 • 4):3

0-(0 • 4):3

0-(1 • 4):3

1-(0 • 4):3

0-(0 • 4):3

0-(1 • 4):3

30-(37 • 2):3

2-(3 • 2):3

2-(2 • 2):3

0-(0 • 2):3

1-(0 • 2):3

0-(1 • 2):3

0-(0 • 2):3

1-(0 • 2):3

0-(1 • 2):3

37 : 3

3 : 3

2 : 3

0 : 3

0 : 3

1 : 3

0 : 3

0 : 3

1 : 3

0-(37 • -5):3

-5-(3 • -5):3

-4-(2 • -5):3

0-(0 • -5):3

0-(0 • -5):3

0-(1 • -5):3

0-(0 • -5):3

0-(0 • -5):3

0-(1 • -5):3


Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x6

52/3

0

1/3

1

0

-11/3

1

0

-11/3

x7

51/3

0

2/3

0

1

-2/3

0

1

-2/3

x1

121/3

1

2/3

0

0

1/3

0

0

1/3

F(X1)

612/3

0

-2/3

0

0

12/3

0

0

12/3


Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

min (52/3 : 1/3 , 51/3 : 2/3 , 121/3 : 2/3 ) = 8

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.


Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

min

x6

52/3

0

1/3

1

0

-11/3

1

0

-11/3

17

x7

51/3

0

2/3

0

1

-2/3

0

1

-2/3

8

x1

121/3

1

2/3

0

0

1/3

0

0

1/3

181/2

F(X2)

612/3

0

-2/3

0

0

12/3

0

0

12/3

0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 2 войдет переменная x2 .

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2/3

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2 .

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

52/3-(51/31/3):2/3

0-(0 • 1/3):2/3

1/3-(2/31/3):2/3

1-(0 • 1/3):2/3

0-(1 • 1/3):2/3

-11/3-(-2/31/3):2/3

1-(0 • 1/3):2/3

0-(1 • 1/3):2/3

-11/3-(-2/31/3):2/3

51/3 : 2/3

0 : 2/3

2/3 : 2/3

0 : 2/3

1 : 2/3

-2/3 : 2/3

0 : 2/3

1 : 2/3

-2/3 : 2/3

121/3-(51/32/3):2/3

1-(0 • 2/3):2/3

2/3-(2/32/3):2/3

0-(0 • 2/3):2/3

0-(1 • 2/3):2/3

1/3-(-2/32/3):2/3

0-(0 • 2/3):2/3

0-(1 • 2/3):2/3

1/3-(-2/32/3):2/3

612/3-(51/3-2/3):2/3

0-(0 • -2/3):2/3

-2/3-(2/3-2/3):2/3

0-(0 • -2/3):2/3

0-(1 • -2/3):2/3

12/3-(-2/3-2/3):2/3

0-(0 • -2/3):2/3

0-(1 • -2/3):2/3

12/3-(-2/3-2/3):2/3


Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x6

3

0

0

1

-1/2

-1

1

-1/2

-1

x2

8

0

1

0

11/2

-1

0

11/2

-1

x1

7

1

0

0

-1

1

0

-1

1

F(X2)

67

0

0

0

1

1

0

1

1


1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x6

3

0

0

1

-1/2

-1

1

-1/2

-1

x2

8

0

1

0

11/2

-1

0

11/2

-1

x1

7

1

0

0

-1

1

0

-1

1

F(X3)

67

0

0

0

1

1

0

1

1

Оптимальный план можно записать так:

x6 = 3

x2 = 8

x1 = 7

F(X) = 4•8 + 5•7 = 67
Решим задачу графическим способом

F = 5x1+4x2 → max, при системе ограничений:4x1+3x2≥55 (1)

2x1+2x2≤30 (2)

3x1+2x2≤37 (3)

x1≥0 (4)

x2≥0 (5)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).



Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.



Рассмотрим целевую функцию задачи F = 5x1+4x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 5x1+4x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

2x1+2x2≤30

3x1+2x2≤37

Решив систему уравнений, получим: x1 = 7, x2 = 8

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 5*7 + 4*8 = 67


  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Решение: Вид сырья iconРешение: Вид сырья
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции (Р1 и Р2), на производство которых используется три вида сырья (А1, А2 и А3). Потребности...
Решение: Вид сырья icon14. Линейное программирование
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность...
Решение: Вид сырья iconРешение получим
Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей. Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей. Каковы...
Решение: Вид сырья iconЗадача оптимального производства продукции
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции Iи II, на производство которых расходуется три вида сырья А, в и С. Потребность...
Решение: Вид сырья iconПредприятие производит продукцию А, используя сырьё В. Затраты сырья...
А = {аij}, количество сырья каждого вида на складе – вj (указаны справа). Прибыль от реализации единицы изделия j-го типа указана...
Решение: Вид сырья iconПрактическая работа №2 по теме «Методика анализа основных показателей деятельности организации»
Определить влияние производственной программы и норм расхода сырья на общий расход сырья методом относительных разниц
Решение: Вид сырья iconМиронов Михаил Михайлович Содержание отчета Ассортимент пушно-мехового...
Характеристика структуры и свойств пушно-мехового сырья, согласно выданному заданию
Решение: Вид сырья iconСтатья затрат представляет собой однородный вид затрат с учетом направления...
Себестоимость продукции стоимостная цена используемых в процессе производства продукции (работ, услуг) природных ресурсов, сырья,...
Решение: Вид сырья iconРешение этого уравнения имеет вид
Цель работы определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
Решение: Вид сырья iconРешение этого уравнения имеет вид
Цель работы определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница