Определение момента инерции диска




Скачать 56.94 Kb.
НазваниеОпределение момента инерции диска
Дата публикации21.02.2014
Размер56.94 Kb.
ТипЛабораторная работа
skachate.ru > Астрономия > Лабораторная работа

Лабораторная работа №7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ДИСКА



Цель работы: определить момент инерции диска динамическим методом и методом колебаний.
Краткая теория

Моментом инерции твердого тела называют количественную меру инертности при вращении тела вокруг заданного центра или оси. Для материальной точки момент инерции равен:

, (1)

где - масса -й точки тела, -расстояние от –й точки до заданного центра или оси.

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции отдельных точек тела.

(2)

где - масса - й точки тела, - расстояние от - й точки до заданного центра или оси.

Выберем в твердом теле произвольную точку с массой (рис. 1). Пусть расстояние от нее до начала координат равно , а координаты равны , и .

Очевидно, что:

(3)



Рис.1
По определению момент инерции тела относительно начала координат равен:

(4)

Тоже по определению момента инерции тела относительно координатных осей равны:

,

, (5)



Учитывая (3), получим связь между моментом инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:

, (6)

Если же одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь выглядит иначе. Пользуясь рис. 2 и определением момента инерции тела, можно записать:

(7)

и

,

(8)



Рис.2
откуда

(9)

В ряде случаев для расчета момента инерции тела относительно произвольной оси удобно пользоваться теоремой Штейнера:

,

где - момент инерции тела относительно произвольной оси , параллельной и проходящей через центр масс тела, - расстояние между и .
Примеры расчетов моментов инерции

1. Момент инерции тонкого стержня массы и длины относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его край (рис. 3).

Выберем элементарно малый элемент стержня длины , отстоящий от оси на расстоянии . По определению момент инерции этого элемента относительно оси равен , где - масса выделенного элемента.



Рис. 3
Масса элемента равна:

.

Откуда

.

Момент инерции всего стержня равен:

. (12)
2. Момент инерции тонкого диска относительно его центра масс.

Для этого выделим тонкое кольцо внутреннего радиуса и ширины .

Момент инерции кольца относительно т. равен:



Масса кольца равна:



поэтому



Момент инерции всего диска относительно т. О равен:

.



Рис.4
Учитывая (9), получим выражение для момента инерции диска относительно его диаметра:

.

3. Момент инерции однородного шара относительно диаметра.

Сначала вычислим момент инерции шара относительно его центра. Для этого выделим тонкий сферический слой шара внутреннего радиуса и толщины с центром, совпадающим с центром шара. Его момент инерции относительно центра равен:

,

а его масса -

,

следовательно:

,

а момент инерции всего шара относительно центра равен:

.

Учитывая (6), получим выражение для момента инерции шара относительно диаметра:


Краткая теория динамического метода определения момента инерции диска

Вертикально расположенный тонкий диск может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр масс (рис. 5). На валик радиуса намотана тонкая нить, к концу которой крепится тело массой . Под действием силы тяжести тело начинает двигаться поступательно вниз, а диск совершать вращательное движение. Для каждого из тел системы «диск-грузик» можно записать уравнение динамики:



Рис. 5
(18)

(19)

где: - ускорение поступательного движения грузика, - угловое ускорение диска, - сила натяжения нити, - момент инерции диска относительно оси вращения.

Считая нить нерастяжимой, можно дополнительно записать кинематическую связь:

.

Решая совместно (18) и (19) с учетом (20), получим:

. (21)

С другой стороны, если грузовик, двигаясь равноускоренно, за время проходит путь , то:

(22)

Приравнивая (21) и (22), получим:

. (23)

Измерения

  1. Измерить штангенциркулем диаметр валика.

  2. Взвесить грузики.

  3. Наматывая нить на валик, поднять грузик на высоту над выбранным уровнем.

  4. Отпустив грузик, измерить время его движения да заданного уровня.

  5. Рассчитать момент инерции диска, результаты измерений и расчетов внести в таблицу.

  6. Повторить измерения для грузика другой массы.

  7. Для одного из грузиков рассчитать погрешность измерений момента инерции диска.


Краткая теория определения момента инерции диска методом колебаний

Диск, описанный выше, при отсутствии грузика находится в положении равновесия. Если к диску на некотором расстоянии от центра прикрепить тело, положение равновесие станет устойчивым. Если диск отклонить от положения и отпустить, он будет совершать колебания.

Пусть на расстоянии от центра диска к нему прикреплен небольшой цилиндр массы и радиуса . Если отклонить диск от положения равновесия на угол , система приобретает потенциальную энергию:

(24)



Рис. 6
Если диск отпустить, он будет совершать гармонические колебания (при малых углах отклонения) по закону:

, (25)

где - период колебаний.

Угловая скорость диска при этом равна:

. (26)

Максимальной скорость диска будет при прохождении положения равновесия:

(27)

Используя закон сохранения энергии, получим:

,

где – момент инерции системы «диск-цилиндр».

При малых углах отклонения:

,

поэтому:

. (28)

Момент инерции равен сумме момента инерции диска и момента инерции цилиндра относительно оси колебаний.

В свою очередь, момент инерции цилиндра можно записать по теореме Штейнера:

. (29)

Учитывая (29), выражение для момента инерции диска может быть представлено в виде:

. (30)

Измерения

  1. Взвесить цилиндр и измерить его радиус.

  2. Измерить расстояние между центрами диска и цилиндра.

  3. Измерить радиус диска.

  4. Укрепить цилиндр на диске, отклонить диск на малый угол от положения равновесия (<10) и отпустить.

  5. Измерить период колебаний диска.

  6. Рассчитать по (30) момент инерции диска.

  7. Результаты измерений и расчетов внести в таблицу.


Контрольные вопросы

  1. Момент инерции. Его физический смысл.

  2. Рассчитать момент инерции тела правильной формы по заданию преподавателя.

  3. Объяснить суть применяемых в работе методов определения момента инерции диска.




Похожие:

Определение момента инерции диска iconСеминар 9 Закон изменения момента импульса
Диск радиуса r с моментом инерции I скатывается с наклонной плоскости с углом наклона . Считая, что движение диска является плоским...
Определение момента инерции диска iconЛабораторная работа Изучение плоского движения твердого тела (маятник Максвелла)
Цэль работы. Экспериментальное изучение плоского движения твердого тела на примере маятника Максвелла, определение момента инерции...
Определение момента инерции диска icon«Теория механизмов и машин»
Определение момента инерции маховика и закона движения звена приведения по Н. И. Мерцалову
Определение момента инерции диска icon«Теория механизмов и машин»
Определение момента инерции маховика и закона движения звена приведения по Н. И. Мерцалову 14
Определение момента инерции диска icon«Теория механизмов и машин»
Определение момента инерции маховика и закона движения звена приведения по Н. И. Мерцалову
Определение момента инерции диска iconЛабораторная работа №7
Цель работы: экспериментально определить момент инерции диска динамическим методом и методом колебаний
Определение момента инерции диска icon1. Кинематический анализ механизма
Заданы массы звеньев механизма; величина вращающего момента; радиус инерции катка и радиусы его ступеней; радиус маховика, представляющего...
Определение момента инерции диска iconОпределение моментов инерции тел методом колебаний
Механика это наука о простейших формах движения и силах, вызывающих это движение
Определение момента инерции диска iconСеминар 7 Закон сохранения момента импульса. Вращение тела вокруг неподвижной оси
Найти момент инерции кругового конуса массы m, высоты H, радиусом основания r относительно оси, проходящей через вершину конуса и...
Определение момента инерции диска iconУстановка Windows 7 на нетбуке с помощью флэш-накопителя usb при...
...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
skachate.ru
Главная страница